Простейшие задачи квантовой механики (потенциальная яма с бесконечно высокими стенками) (лекция 11)

В одномерном случае: , где U(x) – потенциальная функция.

Рассмотрим самый простой случай - потенциальная функция соответствует потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Потенциальная функция:(рис 1)

Естественными граничными условиями для такой ямы будут равенства:

Для промежутка 0<X<a уравнения (2) запишется в виде:

Первое из граничных условий сразу дает B = 0, второе приводит к соотношению:

(n = 0 – отпадает, поскольку при этом получается, что пси-функция тождественно нулю, т.е. частицы нигде не находится.)

Исключив k (6) и (8), найдем собственные значение энергии частицы:

Итак, энергия частица в потенциальной яме может принимать только дискетные значения! Если частица локализована в пространстве в ограниченной области, то спектр значений энергии частицы дискретен, при отсутствии локализации – спектр энергий непрерывен.

(рис 2) Оценим расстояние между соседними уровнями для различных значений массы частицы “m” и ширины ямы “a”. Разность энергий двух соседних уровней равна:

Молекула газа в сосуде:

Столь густо расположенные энергетические уровни будут восприниматься как сплошной спектр энергии, хотя квантования будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет.

Свободный электрон в металле: Эв*с

Это также очень маленькая дискретность, которая не скажется на энергетическом спектре и на характере движения электрона.

3) Электрон, локализованный в области атомных размеров:

Амплитуда волновой функции в (9) – “An” из условия нормировки :