И ИП на их основе 1 страница

8.1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ

8.1.1. Взаимодействие магнитного поля и электрических зарядов

В разделе 4.5.1, ч.1 (под ч.1 понимается первая часть данного пособия) было показано, что движущиеся электрически заряженные частицы (неважно в чем – в вакууме или в металле, электролите) порождают вокруг себя силовое поле, отличное по свойствам от электрического.

Свойства этого поля были исследованы А. Ампером и установлено: заряд q движущийся со скоростью v (вектор) на расстоянии r создает магнитное поле, направление и величина которого (магнитная индукция B) определяется в вакууме уравнением (ч.1, п. 4.24)

, (8.1)

где В - вектор магнитной индукции, величина которого имеет размерность тесла (Т);

μ₀ = 4π·10^-7 Г/м - магнитная постоянная (Г – сокращение от размерности индуктивности - генри);

e _r – единичный вектор по направлению вектора r.

Если движущиеся электрические заряды распределены в пространстве, например, движутся в проволоке в виде электрического тока, то для определения магнитной индукции в какой – либо точке пространства необходимо суммировать бесконечно малые приращения магнитной индукции d B от каждой порции движущихся зарядов dq:

. (8.2)

В преобразованиях (1.2) использованы следующие равенства:

- скорость зарядов v есть производная от пути dl по времени dt, умноженная на единичный вектор e _v направления скорости в данной точке пространства;

- элементарный заряд dq отнесенный к элементу времени dt по определению является величиной электрического тока I;

- поскольку заряды в проводнике перемещаются вдоль проводника, то единичный вектор скорости e _v, умноженный на элемент длины проводника dl, определяет направление проводника в данной точке – d l.

Экспериментально зависимость между величиной тока в элементе проводника и создаваемой индукцией магнитного поля исследовали Био и Савар, строгую математическую форму этой зависимости придал Лаплас. Поэтому выражение

(8.3)

описывает закон Био – Савара – Лапласа, который позволяет рассчитать напряженность магнитного поля тока, протекающего в проводнике любой формы (в виде спирали, рамки и т.п.).

Знание величины индукции магнитного поля позволяет определить силу магнитного взаимодействия двух движущихся систем зарядов. Пусть ток в одном проводе создает на расстоянии а магнитное поле индукцией В; поместим на этом расстоянии а второй прямолинейный проводник длиной l c током I. Если угол между направлением индукции и элементом проводника с током равен α, то сила F _M (по модулю), которую испытывает проводник с током, определяется формулой Ампера

.

В частном случае двух бесконечных прямолинейных проводников, расположенных параллельно в вакууме на расстоянии а, по которым текут равные токи I, взаимодействуют с силой

. (8.4)

Выражение (8.4) лежит в основе определения единицы силы тока: «ампер есть сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 метра один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2· 10^-7 ньютона на каждый метр длины» [23].

Практический интерес представляет не случай прямолинейных проводников, а согнутых в виде рамки (рис. 8.1). В этом случае взаимодействие магнитного поля постоянного магнита с напряженностью B и магнитного поля тока I в рамке (вектор напряженности поля в рамке направлен по ее внутренней оси как у соленоида, см. ч.1, п. 4.5.1) создают механический момент 2r F. Указанный момент стремится повернуть рамку с током вокруг оси О – О так, чтобы вектор магнитной напряженности рамки совпадал с вектором напряженности магнитного поля В. Если ось О - О крепится в подшипниках, то момент сил будет поворачивать ее вокруг оси. Указанный эффект лежит в основе работы всех электродвигателей.

В измерительной технике взаимодействие магнитного поля тока в рамке с полем постоянного магнита широко использовался в стрелочных электроизмерительных приборах (до широкого распространения цифровых жидкокристаллических дисплеев). В них на оси рамки крепилась стрелка и спиральная пружина. Пружина создавала силу, противодействовавшую повороту рамки; поэтому угол поворота был пропорционален величине тока в рамке, а стрелка показывала величину поворота по шкале. Деления на шкале наносились пропорционально величине тока через рамку или (при подключении внешнего образцового сопротивления) пропорционально напряжению. Так реализовалось измерительное преобразование электрического тока (напряжения) в геометрическую величину (угол поворота).

8.1.2. Явление электромагнитной индукции

Другой важный эффект обнаружил М. Фарадей: оказывается, не только электрический ток порождает магнитное поле, но имеет место и обратный эффект: магнитное поле порождает электрический ток при определенных условиях.

Для выявления необходимых условий рассмотрим следующий эксперимент (рис. 8.2).

По П – образной проволочной рамке шириной l и сопротивлением R перемещается со скоростью v прямой кусок провода 1-2 с сопротивлением r. Сопротивление r «R, так, что можно считать r = 0. Вся конструкция пронизывается постоянным магнитным полем с индукцией В. Для простоты, будем считать, что вектор В перпендикулярен площади рамки, а вектор скорости v перпендикулярен подвижному участку проволоки 1-2 и вектору В. Принятые условия упрощают решение задачи, не лишая ее общности.

Содержащиеся в отрезке проволоки 1-2 заряженные частицы (электроны и ионы кристаллической решетки) при перемещении проволоки создают магнитное поле как всякие движущиеся заряды. Поле зарядов взаимодействует с внешним магнитным полем с силой F (сила Лоренца), определяемой уравнением (4.25, ч.1), а именно

. (8. 5)

Уравнение показывает, что сила постоянного магнитного поля с индукцией В, действует на заряды так, что они смещаются в направлении, перпендикулярном и вектору индукции В, и вектору скорости v. В нашем эксперименте, следовательно, на заряженные частицы провода 1-2 действует сила F вдоль провода; при этом электроны должны смещаться к одному концу провода (например, 1), а положительные ионы - к концу 2.

Но кристаллическая решетка является жесткой конструкцией и ионы перемещаться не могут. Электроны проводимости перемещаются к концу провода 1, у противоположного конца 2 возникает их недостаток. Протекая по П – образному участку проволоки электроны совершают работу, величина которой равна произведению силы на пройденный путь. А поскольку работа одного электрона (и равное ей напряжение U) в потенциальном поле не зависит от формы пути (см. п. 4.4, ч.1), то можно записать

.

При выполнении математических преобразований учитывались следующие соображения:

- В электротехнике исторически принято считать, что ток течет от положительного потенциала к отрицательному, поэтому ток отрицательных электронов принимается порожденным разностью потенциалов обратного знака.

- Скорость проводника можно представить как отношение приращения пути dh к приращению времени dt.

- Произведение dh на длину l есть приращение площади dS, пронизанной вектором В, за время dt.

- Скалярное произведение вектора индукции В на нормаль n к площади dS, которую он пронизывает и на саму площадь называется магнитным потоком dФ (в порядке напоминания – скалярное произведение двух векторов является скаляром):

dФ = В · n · dS. (8.6)

Величина магнитного потока настолько важна в теории электромагнитных эффектов, что она имеет специальную единицу. Единица называется вебер (Вб) и равна произведению магнитной индукции в 1 Гс, пронизывающей перпендикулярно площадь в 1м².

Теперь можно перейти к анализу выведенной формулы

. (8.7)

Если выражение (8.6) верно (часто математические преобразования не получают экспериментального подтверждения, поскольку зависят от адекватности принятой модели), то условие порождения магнитным полем электрического напряжения следующее: электрическое напряжение в проводящем контуре возникает при любом изменении магнитного потока во времени независимо от метода реализации изменения.

Экспериментальная проверка этого утверждения подтвердила ее справедливость – проволочный контур можно вращать в магнитном поле (при этом меняется его площадь, пронизываемая магнитной индукцией), можно изменять (или вращать) магнитное поле – в любом случае на разомкнутых концах контура появляется напряжение, способное перемещать заряды при замыкании через нагрузку электрической цепи.

Как правило, магнитное поле пронизывает не один виток (контур) провода, а несколько, в общем случае w витков. Поскольку витки образованы одним проводником, то возникающая в каждом витке э.д.с. (8.7) суммируется с э.д.с. других витков, и общая э.д.с. U_o будет равна

, (8.8)

где ψ – параметр, называемый потокосцеплением; размерность его – вебер, как и Ф:

ψ = wФ. (8.9)

Широчайшее распространение электричества в промышленности и в быту определяется формулой (8.8). Именно из нее следуют условия построения мощных электрогенераторов: вращение магнита (ротора), поле которого пересекает площади неподвижных катушек провода (контуров), называемых обмоткой статора, вызывает появление на выходных концах катушек статора э.д.с. Именно она способна совершать работу по вращению электродвигателей, питанию электроламп освещения, электронного оборудования (телевизоров, радиолокаторов и т.д.). Однако для нас представляют интерес другие эффекты, которые и будут рассмотрены далее.

8.1.3. Явление самоиндукции

Если последовательно вернуться назад от выражения (8.9) для потокосцепления ψ к магнитному потоку Ф (8.6), от него к магнитной индукции в выражении закона Био – Савара – Лапласа (8.3), то становится очевидным, что потокосцепление ψ в контуре является линейной функцией от величины тока, породившего магнитное поле:

ψ = L · I. (8.10)

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура и при неизменных размерах контура с током в вакууме (или в воздухе) остается константой. Сделанные уточнения носят существенный характер, поскольку, во–первых, в измерительных преобразователях используется эффект изменения индуктивности при изменении преобразуемого параметра; во – вторых, часто при разработке ИП применяются материалы с нелинейными магнитными свойствами, что приводит к зависимости величины индуктивности от тока в контуре.

За единицу индуктивности в СИ (1 генри) принимают индуктивность такого контура, в котором протекание тока в 1 А оказывается сцепленным с потоком 1 Вб. С другой стороны, размерность индуктивности можно установить из выражения (8.8):

. (8.11)

При постоянной индуктивности выражение упрощается до

, (8.12)

из которого следует второе определение единицы индуктивности генри (сокращенно - Г): 1 Г = 1 В·с/А = 1 Ом·с.

Для примера определим индуктивность соленоида. Если длина его много больше диаметра витков, то можно пренебречь краевыми эффектами и считать поле внутри соленоида однородным. При протекании по виткам тока I внутри соленоида возбуждается магнитное поле с индукцией, определяемой интегрированием выражения (8.3). Поскольку поле в соленоиде перпендикулярно плоскости витков провода, то векторное произведение векторов можно записать в скалярной форме в виде:

.

При радиусе витков r длина элемента провода dl = r · dφ, где dφ – центральный угол. Следовательно, индукция одного витка соленоида равна

.

Магнитный поток одного витка Ф равен произведению индукции B на площадь витка π r²:

.

Потокосцепление, по определению, равно магнитному потоку, умноженному на число витков N:

.

И, наконец, индуктивность L соленоида:

.

Теперь рассмотрим следующий процесс: в контуре течет постоянный ток I, создающий потокосцепление согласно (8.10); в какой – то момент времени ток изменили, например, начали его уменьшать по линейному закону i = I – kt, t – время, k – константа с размерностью А/с. Возникает вопрос: к каким изменениям величины тока (напряжения) в контуре это приведет?

Эксперименты показали, что изменение потокосцепления оказывает влияние на контур независимо от того, чем вызвано изменение магнитного поля. Поэтому изменение тока (а, следовательно, магнитного поля) в контуре, согласно (8.12) создает на концах его э.д.с.

.

Получается, что снижение тока ведет к росту напряжения на контуре, препятствующего его изменению. Легко проверить, что рост тока приведет к появлению э.д.с. обратного знака, вновь препятствующего изменению магнитного поля.

Возникающая при изменении потокосцепления э.д.с. называется э.д.с. самоиндукции и ее полярность определяется правилом Ленца. Правило гласит: при всяком изменении магнитного потока, сцепленного с контуром, в последнем возникает электрическая сила, стремящаяся сохранить постоянство магнитного потока.

Для примера рассмотрим прохождение через контур с индуктивностью L синусоидального тока ; i ₀ – амплитудное, т.е. максимальное за период значение тока. На подводящих проводах будет присутствовать напряжение u, обратное по знаку э.д.с. самоиндукции

.

Если через u ₀ обозначить амплитудное значение напряжения на контуре, то . По аналогии с постоянным током, величина, связывающая напряжение на элементе и ток, протекающий в нем, называется индуктивным сопротивлением

, (8.13)

с размерностью Ом. Выражение (8.13) точно соответствует правилу Ленца: чем выше частота изменения тока ω, т.е. чем быстрее он пытается измениться, тем большее сопротивление X_L оказывает индуктивность такому изменению.

8.1.4. Явление взаимоиндукции

Рассмотрим два близко расположенных контура (рис. 8.3), по которым течет ток соответственно i₁ и i₂. Поток Ф₁, создаваемый током i₁, частично замыкается в пределах первого контура – это составляющая Ф₁₁, а частично проходит и через второй контур – составляющая Ф₁₂. Весь поток, выраженный через составляющие, равен Ф₁ = Ф₁₁ + Ф₁₂. Рассуждая аналогично относительно второго контура получим выражение Ф₂ = Ф₂₂ + Ф₂₁.

Если первый контур имеет количество витков w₁, а второй – w₂, то полное потокосцепление контуров будет равно соответственно числу витков, умноженному на полный поток соответствующего контура. Например, для первого контура это будет произведение w₁ на суммарный поток Ф₁ и часть магнитного потока второго контура Ф₂₁, пронизывающего первый.

Но здесь возникает дополнительное обстоятельство: токи в контурах могут быть направлены в одну сторону, создавая магнитные поля с одинаковым направлением вектора индукции, как это изображено на рис. 8.3. А могут быть токи, и, соответственно, вектора индукции направлены в противоположные стороны – для этого достаточно на рис. 8.3, например, во втором контуре поменять полярность подключенного источника тока.

С учетом сказанного, выражения потокосцеплений в общем случае будут иметь вид:

, (8.14)

. (8.15)

В выражениях (8.14) и (8.15) знаки плюс берутся при согласованном направлении магнитных полей в контурах и минус – при встречных.

Опытным путем установлено, что потокосцепление ψ₂₁ пропорционально току i₂, а потокосцепление ψ₁₂ пропорционально току i₁. Доказано (при расчете энергии магнитносвязанных контуров), что коэффициенты, связывающие величины токов и взаимное потокосцепление, для двух контуров равны и называется он коэффициентом взаимной индуктивности контуров М.

Если токи i₁ и i₂ переменные, то на клеммах первого контура индуцируется э.д.с.

,

на клеммах второго

.

В правых частях последних выражений первые слагаемые, как и ранее, называются э.д.с. самоиндукции, вторые – э.д.с. взаимоиндукции.

Важным частным случаем является схема двух (или более) контуров, магнитные потоки Ф у которых одинаковы, а количество витков может быть различным. Например, поверх обмотки соленоида с w₁ витками навита обмотка с w₂ витками. Подобное устройство называется трансформатором (в переводе с латинского – «преобразователь»); условное обозначение трансформатора с резистивной нагрузкой представлено на рис. 8.4.

Подключим к входам a - b катушки с числом витков w₁, называемой первичной обмоткой трансформатора, переменное напряжение, например, синусоидальное с амплитудой . Точка над напряжением или током означает, что речь идет об амплитуде (максимальном значении) изменяющегося во времени синусоидального сигнала. Концы второй обмотки, с числом витков w₂, называемой вторичной, оставим на первом этапе не подключенными. В первичной обмотке потечет ток , создавая потокосцепление, согласно (8.9), ; , где - амплитуда магнитного потока, т.е. магнитная индукция, пронизывающая площадь одного витка, пропорциональная току . На концах обмотки a - b возникнет э.д.с. самоиндукции

. (8.16)

На концах вторичной обмотки, пронизываемой тем же потоком , возникнет э.д.с., пропорциональная числу витков в обмотке, т.е.

. (8.17)

Поделив выражение (8.17) на (8.18), получим выражение связи э.д.с. вторичной обмотки с первичной:

. (8.19)

Напряжения на обмотках u₁ и u₂, как указывалось ранее, отличаются от э.д.с. только знаками, поэтому для амплитудных значений напряжений можно записать:

. (8.20)

Выражение для токов в первичной и вторичной обмотках можно получить из следующих соображений. Подключим к выходам вторичной обмотки сопротивление нагрузки R_Н. Мощность, выделяемая на нагрузке P₂ пропорциональна амплитудам тока и напряжения, т.е.

,

мощность, подводимая к первичной обмотке, соответственно, .

По закону сохранения энергии мощность во вторичной обмотке (при отсутствии потерь) должна равняться подводимой мощности; следовательно, P₂ = P₁ и, с учетом (8.20),

. (8.21)

Ко всему проведенному рассмотрению взаимодействия магнитных полей и электрических токов необходимо сделать существенное замечание: во всех случаях рассматривались крайне упрощенные, идеализированные модели. Действительно, принималось, что диаметры проводов равны нулю и при этом одновременно считалось, что их омическое сопротивление так же равно нулю; что в трансформаторе отсутствуют потоки рассеяния, отсутствуют емкостные связи между контурами и отдельными витками и т.д. Поэтому, выведенные формулы приемлемы для объяснения основных процессов в контурах, но не пригодны для расчета реальных устройств.

Теперь кратко проанализируем полученные результаты с точки зрения использования рассмотренных эффектов в измерительных преобразованиях.

Из выражения (8.11) виден путь построения, например, преобразователя перемещений в электрический сигнал: выполним катушку в виде провода, скрученного в пружину, получится контур с индуктивностью, зависящей от положения витков – при сжатии витки сближаются, и индуктивность контура возрастает. Поэтому, если через контур пропустить постоянный ток, то напряжение на нем будет пропорционально производной от величины перемещения. Можно использовать магнитно-связанные контура, у которых, с изменением расстояния между контурами, изменяется величина взаимной индукции М.

С практической точки зрения необходимо обратить внимание на роль связанных контуров в появлении помех и шумов в измерительных каналах. Дело в том, что провода, идущие от одного преобразователя (например, термопары) к следующему (например, усилителю), образуют петлю, на которую воздействуют источники магнитных полей. А ими служат все мощные агрегаты с большими токами питания (электродвигатели, нагревательные печи, электросварка) создающие, согласно (8.3) и (8.6) большие магнитные потоки. В петле из проводов от термопары до усилителя наводится паразитная э.д.с., сопоставимая с величиной полезного сигнала. Очевидно, без принятия специальных мер, реализовать измерения с заданной погрешностью невозможно.

Самые простые меры по снижению наведенных сигналов – уменьшение площади петли. Этого можно достичь приближением усилителя к термопаре (если возможно) или скруткой проводов между собой так, чтобы при заданной длине проводов образуемая ими площадь была минимальной. Естественно, провода покрыты изоляцией, исключающей короткое замыкание.

Трансформаторы используются очень широко с разнообразными целями:

- Изменение величин токов и напряжений. Если, например, количество витков первичной обмотки в 10 раз больше вторичной, то, согласно (8.19), вторичное напряжение будет в 10 раз меньше, но ток во вторичной обмотке в 10 раз больше. Это удобно при подключении источника сигнала к низкоомной нагрузке (динамику, контрольной лампе, регулирующему элементу типа электродвигателя и т.д.).

При обратном включении, т.е. при подключении к обмотке с малым числом витков входного сигнала и передаче на нагрузку сигнала с обмотки с большим числом витков, напряжение на выходе возрастает в 10 раз; получается усилитель напряжения. Отличие трансформатора от усилителя на активных элементах, например, на операционных усилителях, состоит в сохранении исходной мощности сигнала. Дополнительные положительные свойства, достигаемые при использовании трансформатора:

- Простой выбор желательной полярности сигнала - достаточно поменять подключение проводов от источника сигнала на клеммах a на b (рис. 8.4).

- Гальваническое разделение источников питания схем, т.е. исключение проводной связи между отдельными частями схем. В частном случае входного суммарного сигнала, состоящего из постоянной составляющей и переменной части вида , во вторичной обмотке останется только переменная часть сигнала, так как производная от постоянного тока равна нулю.

- Выполнение операции дифференцирования, поскольку напряжение на вторичной обмотке является производной от тока первичной.

8.2. МАГНИТНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

8.2.1. Предварительные замечания

Магнитные поля обладают одним существенным недостатком с точки зрения их практического использования. Заключается он в малых силах взаимодействия полей. Для понимания этого рассмотрим два точечных заряда q, движущихся параллельно с постоянной скоростью v. Если расстояние между зарядами равно r, то электрическая сила взаимодействия (сила Кулона) равна

,

а сила магнитного взаимодействия

.

Отношение магнитной силы к электрической, с учетом равенства (с – скорость света в вакууме), выводимого в электродинамике, дает

.

Если электроны перемещаются в проволоке, то средняя скорость направленного перемещения зарядов под действием электрического напряжения имеет порядок 1·10^-3 м/с (см. ч.1, п. 5.3). Понятно, что магнитные силы в сотни миллиардов раз меньше электрических. Реализация каких – либо устройств с магнитным силовым взаимодействием путем намотки соленоидов выльется в такие гигантские конструкции, экономический и технический смысл создания которых просто теряется.