(темы 1-6)
Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
Данко, гл 4,§1-7
Лихолетов, ч I гл. 7, §58-61.
1.1 Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
Пусть требуется решить систему
(1)
После исключения переменной y из уравнений получим (2).
После исключения переменной x из уравнений получим (3)
Если знаменатель , то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам (2),(3).
Если принять обозначения:
, то решение системы примет вид: , (4)
, где - определители системы, - главный определитель.
Определитель- таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (1).
Определитель, имеющий две строки и два столбца называется определителем 2-го порядка. Формулы (4) называются формулами Крамера.
Вычисление определителей второго порядка:
(+)
(-)
Пример: =(-2·3)-(4·(-5))= -6+20=14,
1.2 Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
, т. е
Определитель 3-го порядка равен сумме произведений трёх элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
|
|
Пример. = ((-1)·1·(-1)+2·2·3+2·(-3)·3)-(3.1·3+2·2·(-1)+2·(-3)·(-1))= (1+12-18)- (9-4+6)=
= (-5)-11= -16.
1.3 Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
=
т.е значение определителя равно произведению элементов 1-ой строки на соответствующие определители 2-го порядка, полученные после вычёркивания i -той строки и k -того столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент, причём a1 берётся со своим знаком, a2 -c противоположным, a3 - со своим знаком.
Пример: Вычислить определитель.
-1 2 3
2 1 –3 = -1 -2 +3 = -1·(-1+6)-2(-2+9)+3(4-3)= -1·5-2·7+3·1= -16
3 2 -1
Замечание. Разложение можно выполнять по элементам любой строки (столбца).
Задача. Решить систему
Решение: Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:
= 1· - (-2) +1· = (-2+6)+2(-4+9)+1(4-3)=4+10+1=15
Составим вспомогательный определитель . Он получается из главного путём замены первого столбца свободными членами.
= 8· +2 +1 = 8(-2+6)+2 (-2-0)+1(2-0)=8·4+2·(-2)+2=30
Составим определитель , путём замены 2-го столбца (в главном определителе) свободными членами.
= - 45 Вычислить самостоятельно.
Составим определитель путём замены 3-го столбца (в главном определителе) свободными членами.
= =0 Вычислить самостоятельно.
Тогда по правилам Крамера имеем
, или , ,
Сделать проверку самостоятельно.
Ответ: x=2, y= -3, z =0
1.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть дана система (1)
Гаусс при решении системы использовал метод исключения неизвестных. В результате исходная система приводится к треугольному виду:
(2) |
В этих таблицах, называемых матрицами, должны быть записаны коэффициенты при неизвестных, а после вертикальной черты-свободные члены.
|
|
В системе (2) из последнего уравнения находится неизвестное z, из 2-го-другое неизвестное y, из 1-го- первое неизвестное x.
Задача. Решить систему.