Операции над векторами

1. - направленный отрезок.

1. Сложение векторов.

+

или

+

1. Вычитание векторов.

-

- или

1. Умножение вектора на число.

3

Þ | | |

-3

Þ | | |

1. Скалярное произведение.

B

A

1) · = )

2) · =P, P- число

3) =

4) =

Свойства:

1). · = -скалярное произведение векторов, заданных координатами.

2). cos j= (проекция вектора на ). Поэтому

· = cos j= =

3). = , = , где =

4). · =0, если ^

5). = или -условие коллинеарности векторов.

6). Угол между векторами:

, - условие перпендикулярности двух векторов.

7). · = ·

8). ·

9).

1. Векторное произведение

удовлетворяет условиям:

1). и

2).

3). -образуют такую же ориентацию как

Свойства:

1). =

2). , где

3).

4). Если то

5).

6). Если , то

7.) - площадь параллелограмма.

-площадь треугольника.

8).

9).

1. Смешанное произведение.

1). -форма записи смешанного произведения.

2). =

3). Если -компланарны, то

4). , если

5).

Д₁ С₁

М A₁

В1

Д С

А В

, где V-объём параллелепипеда.

3. 2 Примеры решения задач.

Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А (2; 1; 0), B (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ABC; 5) най­ти объем пирамиды ABCD.

Решение. I. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой;

(1)

где а_х, а_у, а_г — проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Oz, а — единичные векторы, направле­ния которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz. Если даны точки и то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

(2)

Тогда

(3)

Подставив в (3) координаты точек A и В, получим вектор

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим век­тор :

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вы­числяется по формуле

(4)

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

,

2. Косинус угла между двумя векторами равен ска­лярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :

Модули этих векторов уже найдены: , Следовательно,

¢.

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

4. Площадь грани ABC равна половине площади па­раллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на век­тор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани ABC будет равна половине модуля вектора :

_

кв. ед.

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех не­компланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произ­ведение

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.

3. 3 Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение вектора.
2. Какие векторы называются равными?
3. Геометрическое и аналитическое толкование координат вектора.
4. Запишите модуль вектора между координатами.
5. Как выполняется сложение, вычитание, умножение вектора на число геометрически (рисунком) и аналитически (формулой).
6. Дайте определение базису пространства.
7. Запишите скалярное произведение двух векторов в векторной форме и между координатами перемножаемых векторов. То же для векторного и смешанного произведения.
8. Условия коллинеарности и компланарности векторов в векторной и координатной форме.

Тема 4. Введение в анализ.

Пискунов, гл 1, § 1-9, упр 1-9, 39, 40

Гл 2, § 1-5, упр 1-6, 9-29, § 6-8,

Упр 31-35, 41-48, § 9, 10, упр 57-59

§ 11, упр 60-62.

4.1 Понятие предела.

Определение. Число а называется пределом функции y =f(x) в т. если для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε>0 найдётся такое δ>0 (δ=δ(ε)), что выполняется неравенство <e при <

Этот факт записывается так:

Если , то говорят, что функция имеет пределом число a на бесконечности (x→∞).

Если , то функцию называют бесконечно большой величиной в окрестности т. .

Если , то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).

Если , то - бесконечно малая функция (величина) в окрестности т. X₀.

Если , то - бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).

При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый замечательный предел

второй замечательный предел , а также формулы ,

4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .

I. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.

1-ый способ. Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.

Пример.

Ответ: где 2- предельное значение аргумента, (-1) -

предельное значение функции y.

2-ой способ. Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:

Пример:

3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.

Таблица.

1.

2.

3.

4.

Пример: Найти

Решение.

II. Если то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.

1-ый способ. Использовать правило Лопиталя.

Пример. Найти

Решение:

2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.

Пример. Найти [ -бесконечно малые величины ]=

Ответ:

4.2 Первый и второй замечательные пределы.

1. - первый замечательный предел.

Замечание. При x®0 sin x~ x

Пример 1.

Найти

если заменить , т.к , то

Заметим,что показатель степени обратен по величине второму слагаемому в основании.

Пример 2. представили основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины.

Выполненные тождественные преобразования в показателе степени, позволяют выделить 2-ой замечательный предел. (в квадратных скобках)

4.3 Непрерывность функции. Точки разрыва.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке x₀, если выполняется равенство:

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x₀, если

где соответственно приращение аргумента и приращение функции.

Пример. Дана функция

Требуется: 1). Найти точку разрыва данной функции.

2). Найти и

3). Найти скачок функции в точке разрыва.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в

При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.

y

y

x

-4

-2

x=1- точка разрыва первого рода.

Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым предельными значениями т.е (ед). –скачок функции.

4.4 Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела функции в точке.

3. Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке и на бесконечности

4. Что означают выражения: где C-const?

5. Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).

6. Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x₀ ?