Ефимов, гл 1-3, 4-6
Данко, гл. 1, §1-5.
2.1 Основные формулы аналитической геометрии.
1. - длина отрезка между точками и
2. ; - координаты точки деления отрезка в данном отношении.
| | | | |
-отношение величины отрезка от начала отрезка т. M1 до делящей т. C к величине отрезка от делящей точки C до конца отрезка M2 .
3. - уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.
- угловой коэффициент прямой.
- тангенс угла между двумя прямыми.
-угол между двумя прямыми.
- условие | | двух прямых.
- условие ^ двух прямых.
y y
b
x x 0 0
рис 1. рис 2.
4. - уравнение пучка прямых.
y
- центр пучка.
M0
х
рис 3.
5. - уравнение прямой, проходящей через две точки и
6. - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору +
y
x
рис 4.
7. - уравнение прямой, проходящей через т. , перпендикулярно вектору .
y
x
М0
рис. 5
8. - общее уравнение прямой- уравнение первой степени с двумя неизвестными.
9. - уравнение в отрезках на осях.
y
b
0 a x
рис. 6
10. параметрические уравнения прямой.
ß
, t- переменный параметр.
x |
O |
y |
r |
‘’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’ Yнf ffffffffffffffffffffffffffffffffff Tttt r ……………… ///////////////// M00 000000 x |
рис. 7
- уравнение окружности со смещённым центром . (рис. 8)
12. Каноническое уравнение эллипса.
y |
b |
-a |
-b |
a |
x |
рис.9 |
- уравнение эллипса с центром в начале координат.
- уравнение эллипса со смещённым центром в т. O1(x0,y0).
13. Каноническое уравнение гиперболы.
y |
x |
b |
a |
рис.10 |
- каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.
- уравнение гиперболы со смещённым центром O1 (x0, y0).
14. Каноническое уравнение параболы.
y |
F |
x |
рис. 11 |
- каноническое уравнение параболы с вершиной в т. O (0,0).
- уравнение директрисы.
- уравнение параболы со смещённой вершиной в т. O1 (x0,y0)
2.2 Примеры решения задач.
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника А ВС: А (4; 3), В (16; - 6), С (20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку Кпараллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.
Решение. 1. Расстояние d между точками А (x1; y1) и В (х2; y2) определяется по формуле:
(1)
Применяя (1), находим длину стороны АВ: =15
2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; y2), имеет вид:
(2)
Подставляя в (2) координаты точек A и В, получим уравнение стороны АВ:
4y-12= -3x+12;
3x+4y-24=0 (AB).
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
4y= -3x+24; откуда
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой BC:
;
или y=5,5x-94, откуда kBC=5,5.
3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны k1 и k2 вычисляется по формуле:
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим
В=63°26'. или В» 1,11 рад.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид: y—y1 = k(x—x1). (4)
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как, , то . Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим:
Чтобы найти длину высоты CD, определим сперва координаты точки D-~ точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:
, находим x=8, y=0, т.е D(8;0)
По формуле (1) находим длину высоты CD:
5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
Следовательно, E (18;5).
Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений:
x=11, y=4; K (11;4).
6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим:
7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:
Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.
рис. 1
Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки A (4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.
Решение.
(x,y) |
рис. 2
В системе координат хОу построим точку A (4;0) и прямую х=1. Пусть М(х; у) —произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х=1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1,у) (рис. 2).
По условию задачи МА:МВ= 2. Расстояния МА и MB находим по формуле (1) задачи 1:
Возведя в квадрат левую и правую части, получим:
или
Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось а=2, а мнимая -
Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, с2=4+12=16; с=4; F 1(— 4; 0), F2(4; 0) — фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка A(4; 0) является правым фокусом гиперболы.
Определим эксцентриситет полученной гиперболы:
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и
Следовательно, или и — асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.
Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки A (4; 3) и прямой у=1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.
Решение.
рис. 3
Пусть М(х; у) — одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из
точки М перпендикуляр MB на данную прямую у=1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна I, т. е. В (х; 1). По условию задачи МА=МВ. Следовательно, для любой точки М(х; у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:
или
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О¢ (4; 2). Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим x- 4=Х и y+2=Y; тогда уравнение параболы принимает вид:
Чтобы построить найденную кривую, перенесем начало координат в точку О' (4; 2), построим новую систему координат XO'Y, оси которой соответственно параллельны осям Ох и Оу, и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).
2.3 Вопросы для самопроверки.
- Какое равенство называется уравнением прямой?
- Как пройдёт прямая линия, если свободный член в этом уравнении равен нулю?
- Как вычислить угол между двумя прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?
- Как найти угловой коэффициент прямой, если известны две её точки?
- Запишите уравнения прямых, совпадающих с осями координат.
- Дайте определение окружности. Приведите уравнение
к каноническому виду. Назовите центр и радиус данной окружности.
- Сформулируйте определение эллипса, гиперболы, параболы. Постройте линию в системе координат.
- Дайте определение эксцентриситета для: а) эллипса, б) гиперболы, в) параболы.