Использование производной в задачах прикладного характера

Задача 1. Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объём при данной полной поверхности S.

Решение: Пусть радиус основания цилиндра равен x, а высота равна y.

C

B

A

D

x

y

Тогда

Следовательно, объём цилиндра выразится так:

Задача сводится к исследованию функции V(x) на максимум при x > 0.

и приравняем её к нулю, откуда

Найдём производную

Найдём

,то объём имеет,

выполняется условие

При

наибольшее значение причем

т.е осевое сечение цилиндра должно быть квадратом.

Ответ: Цилиндр с квадратным сечением имеет наибольший объём при данной полной поверхности S.

План действий при решении задач прикладного характера.

1. Обозначить некоторую неизвестную величину прикладной задачи переменной x.

2. Записать ту величину, которая должна быть по условию наименьшей (наибольшей) как функцию переменной x.

3. Исследовать полученную функцию на экстремум, используя производные 1-го порядка и второго порядка, найти значение x, соответствующее точке экстремума исследуемой функции.

4. Записать ответ, вернувшись к прикладному значению x.