1. Определение. Производной первого порядка от функции по аргументу xназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , т.е. или
2. , где a- угол наклона касательной к
- уравнение касательной, проведённой в т.
3. - скорость изменения функции в т. x0.
- Отыскание производной называется дифференцированием.
- - дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.
Геометрически dy представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.
6. - дифференциал аргумента равен приращению аргумента.
- дифференциал функции и приращение функции равны лишь приближённо.
7. - формуладляприближённыхвычислений.
Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций.
Элементарные функции | дифференциал | производная |
1. Степенная функция | ||
2. Линейная функция a,b-постоянные y=x. | ||
3.Тригонометрич. функции y=sin x y=cos x y=tg x y=ctg x | ||
4. Показательная функция , a -число | ||
5. Логарифмическая функция y=ln x | ||
6. Иррациональная функция |
7. Обратно тригонометричес- кие функции y= arcsin x y=arcos x y= arctg x y=arcctg x | ||
8. y=c c-const | d(c)=0·dx |
Основные правила дифференцирования.
|
|
Пусть С- постоянное, и - функции имеющие производные.
Тогда:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) если , , т.е , где функции f(U) и U(x) имеют производные, то - правило дифференцирования сложной функции.
5.2 Примеры решения задач.
Задача 1. Найти производные или следующих функций:
а)
б)
в)
г)
Решение:
а) Пользуясь правилом логарифмирования корня и дроби, преобразуем правую часть:
Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:
б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:
Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:
откуда
в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем
Из полученного равенства, связывающего х, у, и у',
находим производную у':
откуда
г) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов
Задача 2. Найти производную второго порядка
|
|
а)
б)
Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
(1) |
откуда
Снова дифференцируем по х обе части (1):
(2)
Заменив у' в (2) правой частью (1), получим:
б) Зависимость между переменными xи у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную у', находим сперва дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов:
Тогда
Производная второго порядка . Следовательно, чтобы найти у", надо найти дифференциал dy':
Тогда
Задача 3. Найти приближенное значение функции при исходя из ее точного значения при
Решение: Известно, что дифференциал dy функции представляет собой главную часть приращения этой функции .Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то приращение приближенно равно дифференциалу, т. е. . Так как , а то имеет место приближенное равенство:
Пусть , т. е.
Тогда
(1) |
Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при , если известно значение функции и ее производной при Прежде чем воспользоваться приближенным равенством (1), находим числовое значение производной f'(x) при х= 6:
или
Применяя (1), получаем
5.3 Вопросы для самопроверки.
1. Сформулировать определение производной.
2. Каков геометрический смысл производной?
3. Как составить уравнение касательной?
4. Каков геометрический и механический смысл производной?
5. Как найти производную неявной функции? Параметрической функции?
6. Функция непрерывна в т. x0. Следует ли отсюда дифференцируемость функции?
7. В чём заключается геометрический смысл дифференциала функции?
8. Записать формулу, используемую в приближённых вычислениях. Найти приближённое значение
Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
Пискунов, гл. V, §1-12, упр 1-134
Данко, ч. I, гл. 3
План исследования функции и построения графика.
1.Найти область определения функции. Решение этого вопроса указывает на те интервалы оси (ОХ), над которыми пройдёт график и на те значения аргумента x, над которыми график не пройдёт, а также в каких точках пройдут вертикальные асимптоты.
2.Исследовать на чётность, нечётность. Решение этого вопроса облегчает построение.
3.Указать промежутки монотонности функции и найти экстремумы её, точки экстремумов. Построить соответствующие точки на координатной плоскости.
4.Указать точки перегиба графика функции и нанести их на координатную плоскость. Указать промежутки выпуклости, вогнутости.
5.Найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, используя условия для существования этих асимптот. Построить эти линии на координатной плоскости.
6.Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Нанести их на плоскость.
7.Исследовать поведение функции на концах области определения. Это поможет при построении графика.
8.Можно взять несколько контрольных точек, в случае уточнения поведения графика.
9.Построить график.
Задача 1. Исследовать функцию у = 1п(х2 — 6х +10) и построить ее график.
Решение:
1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, можно представить так: х2— 6x+10=(x-3)2 + 1. Как видно, под знаком логарифма будет положительное число при любом значении аргумента х. Следовательно, областью существования данной функции служит вся числовая ось.
2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.
3. Установим четность и нечетность функции. Так как у(-х)¹у(х) и у(- х)¹ - у(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:
|
|
Знаменатель х2- 6x+10>0 для любого значения х. Как видно, при х < 3 первая производная отрицательна, а при х > 3 положительна. При х = 3 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функция имеет минимум:
Итак, A(3; 0) - точка минимума. Функция убывает на интервале (- ¥, 3) и возрастает на интервале (3, + ¥).
5. Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:
Разобьем всю числовую ось на три интервала: (- ¥, 2), (2, 4), (4, + ¥). Как видно, в первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна, а во втором интервале положительна. При x1 = 2 и х2 = 4 вторая производная меняет свой знак. Эти значения аргумента являются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:
Следовательно, P1 (2; ln 2) и P2(4; ln 2) — точки перегиба графика функции. График является выпуклым в интервалах (- ¥, 2) и (4, +¥) и вогнутым в интервале (2, 4).
6. Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты y=kx+b воспользуемся формулами:
Имеем
Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:
Итак, кривая не имеет асимптот.