Равновесные и неравновесные концентрации носителей заряда

Идеализированные вольтамперные характеристики полупроводниковых устройств обычно вычисляются на основе следующих допущений: 1) приближения обедненного слоя с резкими границами, т.е. контактная разность потенциалов и приложенное напряжение уравновешены двойным заряженным слоем с резкими границами, вне которых полупроводник считается нейтральным; 2) приближения Больцмана, т.е. в обедненной области справедливы распределения Больцмана; 3) приближения низкого уровня инжекции, т.е. плотность избыточных носителей заряда мала по сравнению с концентрацией основных носителей.

В состоянии теплового равновесия в приближении Больцмана концентрации равновесных электронов и дырок можно определить из следующих соотношений:

, (38)

где N_c, N_v – эффективные плотности состояний зоны проводимости и валентной зоны, n_i – собственная концентрация носителей заряда полупроводника, E_F – уровень Ферми, E_i – энергетический уровень, соответствующий середине запрещенной зоны полупроводника, ψ и ϕ – потенциалы, соответствующие середине запрещенной зоны и уровню Ферми(ψ =- E _i/ q, ϕ=- E_F / q), к – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.

В состоянии теплового равновесия из (38) следует:

. (39)

При подаче на переход напряжения смещения по обеим его сторонам происходит изменение концентрации неосновных носителей и произведение pn уже не может равняться n_i ². В этом случае вводятся квазиуровни Ферми в соответствие со следующими соотношениями:

, (40)

где ϕ_n и ϕ_p – квазиуровни Ферми для электронов и дырок.

Из (27) следует, что

. (41)

Тогда

. (42)

При прямом смещении (ϕ_p - ϕ_n)>0 и pn > n_i ², а при обратном (ϕ_p - ϕ_n)<0 и pn < n_i ².

Из выражения (28) и (41) с учетом того, что E =-𝛻 ψ, получим

.(43)

Аналогично для дырочного тока имеем

. (44)

Таким образом, плотности электронного тока и дырочного тока пропорциональны градиентам квазиуровней Ферми для электронов и дырок соответственно. Если ϕ_n = ϕ_p = ϕ =const в состоянии теплового равновесия, то J_n = J_p =0. В квазинейтральных областях pn -перехода, где напряженность электрического поля практически равна нулю, квазиуровни Ферми практически постоянны и основное их изменение осуществляется в области пространственного заряда (в обедненной области pn -перехода). Разность электрических потенциалов pn -перехода определяется величиной

. (45)

Учитывая (42), получаем концентрацию электронов на границе обедненного слоя в р -области перехода при x =- x_p

, (46)

где n_{p 0} – равновесная концентрация электронов в p-области.

Аналогично

, (47)

где n_{p 0} – равновесная концентрация электронов на границе обедненного слоя в p -области перехода при x =- x_p, а p_{n 0} – равновесная концентрация дырок в n -области.

Рис.7. Схематическое представление распределения концентраций неосновных носителей заряда вблизи границ обедненной области pn -перехода при прямом смещении (рис.(a)) и обратном (рис.(b)) и плотностей токов при прямом смещении (рис.(с)) и обратном (рис.(d)). При обратном смещении ширина области пространственного заряда увеличивается и, наоборот, при прямом смещении уменьшается.

Полученные выражения (46)-(47) имеют собственное название как граничные условия Шокли и являются основными граничными условиями при вычислении вольтамперной характеристики pn -перехода.