Теорема (вычисление объёма через площадь поперечных сечений)

Пусть тело ограничено плоскостями и . Пусть каждое сечение тела плоскостью есть квадрируемая фигура , причем ее площадь является непрерывной функцией на отрезке . Тогда тело будет кубируемо и его объем вычисляется по формуле .

Доказательство.

Рассмотрим разбиение отрезка конечным набором точек

. Тогда , где объём части тела, заключённой между плоскостями и . В каждом частичном отрезке разбиения выберем точку . Сечение тела плоскостью есть квадрируемая фигура . Площадь – непрерывная функция, следовательно, если отрезок достаточно мал, то на нем изменяется мало, значит можно считать, что . Тогда объем приблизительно равен объему призмы с площадью основания и высотой .Учитывая формулу объема призмы, получаем . Тогда объем всего тела приближенно равен . Так как в правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана для функции на отрезке , то при мелкости разбиения стремящейся к нулю, получаем формулу .