Определение

Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная в полярных координатах лучами и графиком функции .

Теорема. Если функция - непрерывна, то криволинейный сектор – квадрируемая фигура и площадь его находится по формуле

Доказательство.

Пусть – разбиение отрезка конечным набором точек

Тогда площадь криволинейного сектора разбилась на n частей. Обозначим через часть площади криволинейного сектора, ограниченного линиями , . Если мелкость разбиения достаточно мала, то приближенно равна площади обычного кругового сектора с углом и радиусом , где произвольная точка из интервала . Тогда верно приближенное равенство . А так как площадь криволинейного сектора равна , то получаем приближенное равенство

Здесь в правой части интегральная сумма Римана для функции .

Поскольку функция - непрерывна, то интегрируема и при интегральные суммы стремятся к интегралу Римана. Таким образом получаем формулу .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли, задаваемой уравнением .

Перейдем к полярным координатам . Тогда уравнение кривой примет вид или .

Найдем область определения функции из условия .

Решая это неравенство, находим .

Функция имеет период , значит ее график симметричен относительно начала координат.

Так как , то график функции также симметричен относительно оси . В силу симметрии достаточно найти площадь части фигуры, расположенной в первой четверти