Площадь фигуры, под графиком функции, заданной параметрически

Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями

В этом случае площадь вычисляется по формуле

.

Пример. Вычислить площадь эллипса.

Зададим эллипс параметрическими уравнениями

Поскольку эллипс симметричен относительно координатных осей, то можно искать площадь четверти эллипса, расположенной в первой координатной четверти. Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, у которой абсцисса меняется от , что соответствует значению параметра , до , что соответствует значению параметра . Подставляя в формулу, находим

.

Отсюда площадь всего эллипса равна .