Имеющей конечное число точек разрыва

Теорема:

Если функция f(x) ограничена на [ a, b ] и имеет на нем конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство:

Можем считать, не нарушая общности, что на [ a, b ] существует только одна точка разрыва х^/. Возьмем произвольное число >0 и окружим точку х^/ - окрестностью. На отрезке [ a, х ^/- ] функция непрерывна, следовательно для данного можно указать такое , что если [ a, х^/- ] разбить на части с длинами, меньшими δ₁, то колебание функции на каждой из этих частей будет меньше . Аналогично для отрезка [ х ^/+ , b ] можно указать , такое что, если этот отрезок разбить на части с длинами меньшими , то колебание функции на каждой из частей будет меньше . Из δ₁ и δ₂ выберем наименьшее и обозначим его δ₀. Тогда, если отрезок [ a, х ^/- ] и [ х ^/+ , b ] разбить на части с длинами, меньшими δ, то колебание функции на каждой из частей будет меньше . Кроме того, мы можем взять . Разобьем отрезок [ a, b ] на части с длинами, меньшими δ.

Тогда получим отрезки двух типов:

1 тип – отрезки, целиком лежащие вне окрестности;

2 тип – отрезки либо целиком лежащие в окрестности, либо частично попадающие в нее.

Так как функция ограничена, то колебания функции на каждом промежутке не превосходят колебаний функции на всем [ a, b ]. Обозначим его Ω. Разобьем сумму на две суммы , соответствующие отрезкам 1 и 2 типов.

Имеем: .

Заметим, что длины всех отрезков, целиком лежащих в окрестности точки х^/, меньше 2 . Длины отрезков частично попадающих в окрестность, а их не более двух, меньше 2δ < 2 .

Для второй суммы имеем: .