Формула Ньютона-Лейбница. (основная формула интегрального исчисления)

(основная формула интегрального исчисления)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], тогда функция

(1)

является для нее первообразной, а значит всякая другая первообразная F(x) связана с Φ(х) соотношением

Φ(х)=F(x)+c, с=const. (2)

Равенство (2) с учетом (1) можно записать так:

(3)

Положим в равенстве (3) х=а, получим:

.

Тогда

.

Положим теперь х=b, получим

(4)

Формула (4) называется формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона-Лейбница. Она устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралом и показывает, что определенный интеграл функции равен разности 2-х значений любой первообразной этой функции. Формула (4) обычно записывается в виде . Она дает способ вычисления определенного интеграла. Для вычисления интеграла достаточно взять любую из первообразных F(x) и найти разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример:

1) .

2) .