Существование первообразной от непрерывной функции

Отметим, что значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть

Это свойство становится особенно ясным, если трактовать определенный интеграл как площадь. Площадь криволинейной трапеции не зависит от наименования координат, к системе которых отнесен график подынтегральной функции.

Пусть функция f(x) интегрируема на [ a, b ] и х - произвольная точка, принадлежащая отрезку [ a, b ]. По свойству 3° определенного интеграла функция f(x) будет интегрируема и на отрезке [ a, х ].

Рассмотрим . Ясно, что при изменении верхнего предела х будет меняться величина интеграла, то есть интеграл является функцией своего верхнего предела х. Обозначим его через Φ (х), то есть

Φ (х)= .

Изучим свойства этого интеграла.

Теорема 1:

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то функция Φ (х)= непрерывна на этом отрезке.

Доказательство:

Возьмем любой , придадим х приращение D х такое, что х+ D х . Рассмотрим приращение D Φ:

Таким образом, = (1)

Функция f(t) интегрируема на отрезке [ x, x+Dx ], следовательно, она будет и ограничена на этом отрезке. Это значит, что для всех t из этого отрезка, . Тогда выполняются все условия теоремы о среднем. Применив ее, получим

Если D х →0, то с изменением отрезка [ x, x+Dx ] будут меняться числа m^/ и M ^/, поэтому и m будет меняться.

Пока трудно сказать, как будет вести себя правая часть равенства (1).

Заметим, что если M и m – ТВГ и ТНГ множества значений { f(x) } функции y=f(x) на отрезке [ a, b ], то M £ M ^/, m³ m^/. Поэтому , то есть m - величина ограниченная. Если D х →0, то m D х →0, тогда и →0. Значит непрерывна в точке х, а так как х произвольная точка отрезка [ a, b ], то это и доказывает теорему.

Теорема 2:

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то функция Φ(х) дифференцируема на этом отрезке и ее производная равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, то есть