Замена переменной в определенном интеграле. Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) непрерывная на отрезке [a, b] функция

Пусть требуется вычислить интеграл , где f(x) непрерывная на отрезке [ a, b ] функция.

Возьмем х =j (t) и на функцию j (t) наложим следующие условия:

1) j (t) определена и непрерывна на некотором отрезке [a, b] и ее значения не выходят за пределы отрезка [ a, b ], когда t изменяется от a до b:

;

2) j (a)=а; j (b)=b;

3) На отрезке [a, b]существует непрерывная производная .

Тогда имеет место равенство:

.

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для функции f(x), тогда

.

Покажем, что функция F(j (t)) – первообразная для функции f(j (t)) .

Действительно , поэтому

Доказано, что .

Примеры.

1) Вычислить интегралы:

2) Доказать, что .

3 ) Интегрирование четных и нечетных функций по отрезкам, симметричным относительно начала координат.

а) Подынтегральная функция f(x) – четная, следовательно f(x)=f(-x).

Вычислим интеграл

.

Геометрический смысл

S2

S1

б) Подынтегральная функция f(x) – нечетная, следовательно f(-x)=-f(x).

Геометрический смысл

S2

S1

4 ) Интеграл от периодической функции

с периодом Т, f(x+T)=f(x).

Докажем, что

.

Рассмотрим последний интеграл.

Итак, .

До сих пор мы рассматривали интегралы на конечном промежутке, но часто встречаются интегралы и на бесконечном промежутке, а также интегралы от бесконечных функций.