Интегрирование по частям в определенном интеграле. В неопределенном интеграле формула интегрирования по частям имеет вид , где u, v – функции от независимой переменной х

В неопределенном интеграле формула интегрирования по частям имеет вид , где u, v – функции от независимой переменной х, непрерывные в рассматриваемом промежутке [ a, b ] вместе со своими производными.

Аналогичная формула имеет место и в определенном интеграле.

Действительно, так как ,

то функция является первообразной для функции

(по определению).

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница

.

По свойству аддитивности определенного интеграла относительно подынтегральной функции имеем:

Следовательно

или

Примеры. Вычислить интегралы:

Итак,

Приведя подобные, получим:

Таким образом рекуррентная формула имеет вид

. (*)

Если индексы четные:

Если индексы нечетные, то:

Ниже будет показано, что .