I. Несобственные интегралы I рода

(область интегрирования бесконечна)

Выясним, что представляют собой интегралы вида:

.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на бесконечном промежутке [ а, +∞). Что понимать под интегралом ?

Рассмотрим интеграл Он представляет собой функцию от z. Может случиться, что

при эта функция имеет предел.

Опр. Под интегралом понимается .

Если предел существует и он конечный, то называется сходящимся несобственным интегралом, равным этому пределу. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

Если F(x) первообразная для f(x), то

Тогда

Аналогично определяется интеграл .

Опр. Несобственный интеграл называется сходящимся, если сходится каждый из интегралов и .

Пример. Вычислить несобственные интегралы

1) .

Геометрически данный интеграл представляет площадь бесконечной фигуры, лежащей под локоном Аньези выше оси ОХ.

2) .

3) Вычислим интеграл, который будет нужен в теории рядов.