II. Несобственные интегралы II рода

(подынтегральная функция неограничена)

Неограниченные на отрезке функции могут вести себя по-разному, например:

Достаточно изучить случай, когда разрыв только в одном конце отрезка (если разрыв в двух концах, то разбить на два интеграла).

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [ a, b-e ] при любом как угодно малом e>0, но неограниченна на

[ b-e, b ].

Опр. Если существует конечный предел , то говорят, что несобственный интеграл II рода с особенностью в точке b сходится.

При этом величину предела принимают за величину несобственного интеграла: .

Если особенность в точке а, то .

Пример:

Для несобственных интегралов II рода справедлив признак сравнения, аналогичный признаку сравнения для несобственных интегралов I рода.

Если рассматривать несобственный интеграл II рода с особенностью во внутренней точке с, то нужно рассмотреть 2 интеграла с пределами от а до с-e₁, и от с+e₂ до b:

.