2015-05-05
295
1.Если х* - точка локального минимума (максимума) выпуклой (вогнутой) функции f (x) на выпуклом множестве Р Ì Rn то f (x*) – наименьшее (наибольшее) значение f (x) на Р. Если f (x) строго выпукла (вогнута), то х* - единственная точка глобального экстремума.
2.Пусть f (x) – выпуклая (вогнутая) функция на выпуклом множестве Р Ì Rn и пусть grad f (x*)=0. Тогда х* -точка глобального минимума (максимума) f (x) на Р.
Множители Лагранжа и теорема Куна-Таккера.
рассмотрим следующую задачу, называемую задачей вогнутого программирования: найти точку глобального максимума вогнутой функции f (x) на выпуклом множестве Р Ì Rn , заданном системой неравенств:
ó g1(x)³0,
î ……….
ì g s(x)³0
ì g s(x)³0
î x³0
где g1(х),…, g s(x) – вогнутые функции. для решения вводят функцию Лагранжа F(x,l)= f (x)+l1 g1(x)+…+l s g s(x), где l=(l1,…,l s) – вектор множителей Лагранжа. Предположим, что все функции дифференциируемы и существует точка х³0, для которой все тривиальные неравенства из системы уравнений строгие. Точка х*³0 является точкой глобального максимума f (x) на Р в том случае, когда существует вектор l*=(l*1,…,l*s)³0, такой, что выполняются условия:
|
|
|
gradxF(x*, l*)£0;
(gradxF(x*, l*);х*)=0
gradlF(x*, l*)³0
(gradlF(x*, l*);l*)=0
Эти условия означают, что точка (x*, l*) является седловой точкой функции F(x, l), т.е. F(x, l*)£ F(x*, l*)£ F(x*, l)
Числове и функциональные ряды.
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.
Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения: а1+а2+…+ак +…=∑к=1∞ак.
Где а1,…,ак- члены числового ряда
Введем след. Обозначения: Sк = ∑к=1каi = а1+а2+…+ак - n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,…к: Sк = а1+а2+…+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ. Последовательность.
Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S, k→∞. В противном случае числ ряд расходится.
Св-ва сходящихся числ. Рядов.
Рассмотрим 2 числ ряда:
а1+а2+…+ак +…=∑к=1∞ак. (1)
в1+в2+…+вк +…=∑к=1∞вк (2)
Опр.
1). Суммой этих рядов наз ряд. Каждый член которого равен сумме соответствующих членов рядов (1) и (2).
2) Ряд, каждый член которого равен произведению соответствующего члена ряда (1) на одно и то же действительное число, наз произведением ряда на действительное число λ.
Св-ва.
1)Если ряд (2) сходится, и его сумма равна S, тогда произведение этого ряда на действительное число также сходится, и его сумма будет равна λS.
Док-во: Пусть Sk- частичная сумма ряда (2), sk - частичная сумма ряда λ в1+ λ в2+…+λ вк +…, ясно, что λ Sk = sk. Переходя к пределу, получим:
|
|
|
Lim sk=lim λSk= λlimSk= λS(k→∞)
2)Если ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы соответственно равны S, S’, то ряд из определения 1) (назовем его (3)) также сходится, а его сумма будет равна S+S’.
Док-во: Qk=Sk+Tk, где Qk, Sk,Tk – сответственно частич суммы рядо (1), (2), (3). Переходя к пределу при k→∞, получаем, что сущ-т LimQk и Q=S+T
3)Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов также сходится.
Док-во: Рассмотрим, когда отбрасывают первые n членов. Оставшийся ряд аn+1 +аn+2+… наз остатком исходного ряда (1). Пусть Сn- сумма первых n членов, Sk -частичная сумма исх. Ряда,S’k - частичная сумма остатка, при k>n:
Sk = Cn+S’k
Если сущ-т предел lim Sk k→∞, то сущ-т и предел lim S’k и наоборот. В частности, выполняется равенство: S=S’+Cn
4)Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд. Полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.
Необходимое усл-е сходимости.
Теорема. Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена при к →∞ равен 0. lim ak=0
Док-во.
1){Sk=a1+a2+…+ak
{Sk-1=a1+a2+…+ak-1, значит ак=Sk-Sk-1
2)Поскольку ряд сходится, то lim Sk = S, k→∞
3) k→∞: lim ak= lim Sk- lim Sk-1 = S- lim Sk-1= S-S=0 ((k-1)→∞)
Следствие: если lim ak≠0 или не сущ-т, то ряд расходится.
Сформулированный признак явл. необходимым усл-м и не явл достаточным, чтобы ряд сходился.
