Модель естественного роста (рост при постоянном темпе)

Пусть у(t) – интенсивность выпуска продукции некоторого предприятия, отрасли. Мы будем предполагать, что имеет место аксиома о ненасышенности потребителя, т.е. что весь выпущенный предприятием товар будет продан, а также то, что объём продаж не является столь высоким чтобы существенно повлиять на цену товара р, которую ввиду этого мы будем считать фиксированной. Чтобы увеличить интенсивность выпуска у(t), необходимо чтобы чистые инвестиции I(t) (т.е. разность между общим объёмом инвестиций и амортизационными затратами) были больше нуля. Вслучае I(t)= 0 общие инвестиции только лишь показывают затраты на амортизацию, и уровень выпуска продукции остаётся неизменным. Случай I<0 приводит к уменьшению основных фондов и уровня выпуска продукции. Таким образом мы видми, что скорость увеличения интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией от I.

Пусть эта зависимоть выражается прямой пропорциональностью, т.е. имеет место так называемый принцип акселерации.

y¢=mI (m=const), где 1/m – норма акселерации. Пусть a - норма чистых инвестиций, т.е. часть дохода ру, которая тратится на чистые инвестиции, тогда I=a py.

Отсюда подставляя выражение для I, получаем y¢=a m ру или y¢=ку, где к=ma р =const. Разделяя переменные в уравнении имеем

Dy/y=kdt. После интегрирования обеих частей находим ln|y|=kt+lnC, или y=Ce^kt.

Если y(t₀)=y₀,то C=y₀e^-kto, т.е. y=y₀e^k(t-to) – это уравнение называется уравнением естественного роста. Этим уравнением описывается также динамика роста цен при постоянном темпе инфляции, процессы радиоактивного распада и размножения бактерий.