Линейно независимые системы векторов

Система векторов { e ₁, e ₂, …, e_n } называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда a₁=a₂ =… = a _n = 0.

Если, при , хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, то система векторов называется линейно зависимой.

Можно выделить следующие свойства линейно зависимых систем векторов:

11°. Система, состоящая из одного вектора x, линейно зависима тогда и только тогда, когда x = q.

◀ а) Система линейно зависима Þ $a ¹ 0 | a⊙ x = q Þ x = q (т. 6°);

б) x = q. Возьмем a = 1 Þ a x = aq = q (т. 5°). ▶

12°. Набор векторов { e ₁, e ₂, …, e_k,q} содержащий q, линейно зависим.

◀ 0⊙ e ₁, 0⊙ e ₂, …, 0⊙ e_n + 1⊙q = q. Так как записанная линейная комбинация содержит коэффициент не равный нулю, то система линейно зависима. ▶

13°. Если хотя бы один вектор из системы выражается как линейная комбинация других, то система векторов линейно зависима (и наоборот).

◀ Пусть есть система векторов e ₁, e ₂,…, e_{n –1}, e_n и пусть e_n = a₁ e ₁+ a₂ e ₂ + … + a _{n –1} e_{n –1}. Тогда либо e_n = q и система линейно зависима, либо e_n ¹ q и тогда набор a₁,a₂, … a _{n –1}нетривиален, т.е. 1⊙ e_n – a₁ e ₁– a₂ e ₂ –…– a _{n –1} e_{n –1}= q при нетривиальном наборе коэффициен-

тов. Следовательно, система линейно зависима.▶

14°. Если система векторов линейно зависима, то, по крайней мере, один из векторов может быть представлен как линейная комбинация остальных.

◀ Так как система векторов линейно независима, то существует нетривиальный набор a₁, a₂, …, a _n такой, что a₁ e ₁+ a₂ e ₂ +…+ a _ne_n = q. Пусть a _n ¹ 0. Тогда . ▶

15°. Любая часть линейно независимого набора векторов линейно независима.

◀ Пусть e ₁, e ₂, …, e_k, e_{k + 1}, …, e_n линейно независима. Рассмотрим равенство a₁ e ₁ + a₂ e ₂ + …+ a _ke_k + a _{k +1} + e_{k +1} +… + a _ne_n = q. В силу линейной независимости оно выполнено тогда и только тогда, когда a₁₌ a₂₌ …= a _n = 0. Положив a _{k +1}, a _{k +2}, …, a _n равными 0 получим: a₁ e ₁+ a₂ e ₂ +…+ a _ke_k = = q Þ a₁= a₂= …= a _k = 0.Т.е. система e ₁, e ₂, …, e_k линейно независима.▶

Если пространство V не есть {q}, то в нем есть, по меньшей мере, один ненулевой вектор. Т.е. если V ¹ {q}, то в нем существует линейно независимая система векторов.

Используя процесс «посадки» (добавления в линейно независимую систему векторов, других векторов пространства, не нарушающих свойство линейной независимости) можно построить в пространстве максимальный линейно независимый в V набор векторов.