2015-05-05
312
ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫМИ НАБОРАМИ ВЕКТОРОВ
16°. Если e 1, e 2, …, em – линейно независимая, а f 1, f 2, …, fn – полная системы векторов, то m £ n.
◀ Доказательство теоремы проведем от противного.
Допустим, что m > n (т.е. в полном наборе меньше векторов, чем в линейно независимом).
1) f 1, f 2, …, fn – полная система. Тогда e 1, f 1, f 2, …, fn – полная и линейно зависимая, ибо e 1выражается через остальные e 1 = b1 f 1+ b2 f 2 + … + b nf n.
При этом, по меньшей мере, одно из b i ¹ 0, ибо в противном случае e 1= q, что противоречит линейной независимости векторов. Не ограничивая общности можно считать, что b1¹ 0, тогда f 1 выражается через остальные векторы и его можно удалить из полной системы, не нарушая ее полноты.
Получена новая полная система векторов e 1, f 2, f 3, …, fn.
2) e 1, f 2, …, fn – полная система. Тогда e 1, e 2, f 2, …, fn – полная и линейно зависимая, ибо e 2выражается через полную систему e 2 = a1 e 1 + b2 f 2+ b2 f 2 + …+ + b nf n. При этом, по меньшей мере, одно из b i ¹ 0, ибо в противном случае вектор e 2 выразится через вектор e 1, что противоречит линейной независимости системы e 1, e 2, …, em. Пусть b2 ¹ 0, тогда f 2 может быть выражено через остальные и его можно «прополоть».
|
|
|
Получится новая полная система векторов e 1, e 2, f 3, f 4, …, fn.
3). Аналогично последовательно построим полные системы векторов
e 1, e 2, e 3, f 4, f 5, …, fn
e 1, e 2, e 3, e 4, f 5, …, fn
…………………………………
e 1, e 2, e 3, e 4 , e 5 , …, en.
4). Полнота системы e 1, e 2, e 3, …, en противоречит линейной независимости более широкой системы e 1, e 2,…, en , en+ 1, …, em. Полученное противоречие доказывает теорему. ▶
