Координаты вектора в заданном базисе

23°. Пусть V – линейное пространство, dim V = n и – базис в V. Тогда " x Î V существует единственный набор , a _i ÎK такой, что x = .

◀ Представление x = следует из полноты .

Единственность. Пусть x = и x = . Тогда q = x – x = – = = и, следовательно, в силу линейной независимости

, " i a _i –a¢ _i = 0 т.е. a _i =a¢ _i. ▶

Теперь ясно, что если в пространстве V задан базис , то каждому вектору x Î V можно поставить в соответствие (причем единственным образом) набор чисел a₁,a₂, …, a _n ÎK. Это записывают так: x ↔(a₁,a₂, …, a _n) или x = (a₁,a₂, …, a _n). Величины a _i называются координатами вектора x в базисе . При этом, (что очень важно), если x = (a₁,a₂, …, a _n) и y = (b₁, b₂, …, b _n), то x ⊕ y = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, …, a _n + b _n) и g⊙ x = = (ga₁, ga₂, …, ga _n), т.е. операции ⊕и ⊙ заменены покоординатным сложением и умножением на элемент внешнего поля K.

Другими словами, введение понятия базиса векторного пространства V над полем K и координат векторов в этом базисе абстрактные операции сложения для элементов линейного пространства и умножения их на скаляры из внешнего поля K позволяет свести к операциям покоординатного сложения и умножения на скаляр, т. е. к умножению и сложению в поле K.