Евклидовом пространстве

а) (q, x) = (0× x, x) = 0(x, x) = 0;

б) (x, a y) = (a y, x) = a(y, x) = a(x, y);

в) (x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z);

г) .

Последнее свойство говорит о том, что для того чтобы задать скалярное произведение в пространстве V достаточно задать скалярное произведение базисных векторов: g _ij = (e_i, e_j). При этом g _ij = g _ji. Элементы g _ij образуют матрицу, называемую матрицей Грамма. Матрица Грамма в евклидовом пространстве симметрична.