2015-05-05
316
Def: Векторы x, y Î V называются ортогональными, если (х, у) = 0.
1°. Если " y Î V, (x, y) = 0 Þ x = q.
◀ Т.к. (x, y) = 0 " y,положим у = х. Тогда (x, х) = 0 Þ x = q. ▶
Система векторов 
называется ортогональной, если (fi, fj) = 0 для i ¹ j (отметим, что (fi, fi) = | fi |2).
Система векторов 
называется ортонормированной, если 
.
2°. Ортонормированная система векторов – линейно независима.
◀ 
– ортонормированна. Пусть a1 e 1 + a2 e 2 + …+ a nen = q. Умножим обе части равенства скалярно на ej и получим: в левой части 
, а в правой части (q, ej) = 0, т.е. a j = 0. Равенство a j = 0 для любого j означает линейную независимость ортогональной системы векторов. ▶
3°. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов есть сумма произведений одноименных координат.
◀ – ортонормированный базис 
. Тогда
. ▶
Следствие. В ортонормированном базисе 
4°. В любом (конечномерном) евклидовом пространстве существует ортогональный базис.
◀ Пусть f 1, f 2, …, fn базис в V. Покажем, что по указанному базису можно построить ортогональный базис (этот процесс называют процессом ортогонализации).
|
|
|
а) e 1 = f 1;
б) e 2 = f 2 + a e 1 и a найдем из условия (e 1, f 1) = 0,
0 = (e 1, e 2) = (e 1, f 2) + a(e 1, e 2) Þ a = 
;
в) e 3 = f 3 + a e 1 + b e 2 и a, b найдем из условий (e 3, e 1) = (e 3, e 2) = 0,
0 = (e 1, e 3) = (f 3, e 1) + a(e 1, e 2) Þ a = 
,
0 = (e 2, e 3) = (f 3, e 2) + b(e 2, e 2) Þ b = 
;
………………
………………
г) 
. ▶
Нормируя векторы ортогонального базиса получим ортонормированный базис пространства, т.е.
5°. В каждом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Процесс построения ортонормированного базиса, примененный в предыдущей теореме называется процессом ортогонализации Штурма.
