Длина вектора. Угол между векторами

а) Неравенство Коши-Буняковского (x, y)² £ (x, x)×(y, y).

◀ (a x – y, a x – y) = a²(x, x) – 2a(x, y) + (x, y) ³ 0, т.к. квадратный трехчлен относительно a сохраняет знак, то D £ 0 Þ 4(x, y)² – 4(x, x)(y, y) £ 0, (x, y)² £ (x, x)(y, y). ▶

Отметим, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается, если $a такое, что a x = y, т.е. когда х и у коллинеарны.

Частные случаи неравенства Коши-Буняковского:

а) , б) .

Длиной вектора х назовем величину | x | = . (Неравенство Коши-Буняковского тогда запишется так: |(x, y)|² £ | x |²×| y |²).

Расстоянием между двумя векторами х и у назовем величину

.

б) Неравенство треугольника: | x + y | £ | x | + | y |.

◀ | x + y |² = (x + y, x + y) = (x, x)² + 2(x, y) + (y, y)² = | x |² + 2(x, y) + + | y |² £ | x |² + 2| x |×| y | + | y |² = (| x | + | y |)². ▶

Углом между векторами х и у назовем угол jÎ[0, p] такой, что .

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что | cosj | £ 1.