Критерий Сильвестра

4 °. Для того чтобы форма j(x, x) была положительно определена необходимо и доста­точно, чтобы D _i > 0 (" i = 1, 2, …, n).

◀ Достаточность. Если D _i > 0, то , где т.е. l _i > 0 и тогда форма j(x, x) > 0.

Необходимость: j(x, x) > 0. покажем, что D _k > 0. От противного:

а) Предположим, что D _k > 0, D _i < 0 и нет D _j = 0 по Якоби $l _i тогда j(x, x) < 0 если: , что противоречит положительной определенности квадратичной формы.

б). Пусть D _k = 0, , т.е. одна из строк минора есть линейная комбинация остальных:

m₁j(f ₁, f_i) + … + m _k j(f_k, f_i) = 0, m _k ¹ 0, i = 1, 2, …, k,

j(m₁ f ₁ + … + m_k f_k, f_i) = 0 Þ " i = 1, 2, …, k Þ

Þ Þ j(x, x) = 0, x ¹ 0. Вновь получено противоречие с положительной определенностью формы. ▶

5°. Для того чтобы форма j(x, x) была отрицательно определена необходимо и доста­точно чтобы: D₁ < 0, D₂ > 0, D₃ < 0 … (главные миноры чередуются по знаку, начиная с “–”).

◀ Если форма j(x, x) отрицательно определена, то форма j^­–(x, x) = –j(x, x) положительно определена. Тогда матрицы формы j(x, x) отличаются на множитель (–1)а, следовательно, миноры D _k отличаются на множитель (–1) ^k . ▶