Оператора и с определителями

Пусть в Е_n задан линейный оператор А с матрицей (а_ij). Тогда: y_i = a_ijx_j (в базисе е_i). Рассмотрим в Е_n базис { e_{i ¢}}: y_{i ¢} = a_{i ¢ j ¢} x_{j ¢} Þ p_{i ¢ i} y_i = a_{i ¢ j ¢} p_{j ¢ j} x_j . Умножим обе части равенства на p_{i ¢ k} . p_{i ¢ i} p_{i ¢ k} y_i = a_{i ¢ j ¢} p_{j ¢ j} p_{i ¢ k} x_j Þ d _iky_i = a_{i ¢ j ¢} p_{j ¢ j} p_{i ¢ k} x_j Þ y_k = p_{i ¢ k} p_{j ¢ j} a_{i ¢ j ¢} x_j. С другой стороны: y_i = a_ijx_j, т.е. a_ij = p_{i ¢ i} p_{j ¢ j} a_ij.

Таким образом, элементы матрицы линейного оператора образуют тензор 2^го ранга.

Наоборот всякий тензор 2^го ранга можно истолковать как матрицу линейного оператора.

Поэтому теория тензоров 2^го ранга непосредственно связана с теорией линейных операторов и с теорией матриц.

Это дает возможность выявить связь тензоров 2^го ранга с определителями и т.д.

Теперь: пусть j _ik – произвольный тензор 2^го ранга. Построим тензор 3^го ранга c _abc по правилу: c _abc = e _ikl j _ia j _kb j _lc. Тогда c _bac = e _ikl j _ib j _ka j _lc e _kil j _kb j _ia j _lc = e _kil j _ia j _kb j _lc = =-e _ikl j _ia j _kb j _lc = –c _abc. Следовательно абсолютно антисимметричный тензор 3^го ранга всегда можно представить в виде: c _abc = je _abc, где φ – скаляр. Т.е. каждому тензору 2^го ранга φ _ik можно поставить в соответствие скаляр φ такой, что:

e _ikl j _iа j _kb j _lc = je _abc (*)

Оказывается, что этот скаляр равен определителю, составленному из компонент φ _ik: , в этом легко убедиться непосредственным вычислением, например, зафиксировав в (*) говорящие индексы (скажем а = 1, b = 2, c = 3) и выполнив суммирование по немым индексам i, k, l: je₁₂₃ = e _ikl j _{i 1}j _{k 2}j _{l 3} = …

В этой же идеологии нетрудно ввести понятия тензора обратного к данному тензору 2^го ранга (Если , то тензор обратный к тензору j _ik), и получить условия обратимости тензора 2^го ранга.

Можно сформулировать (а для симметричного тензора и всегда решить) задачу о приведении тензора 2^го ранга к главным осям. Эта задача равносильна задаче построения собственного базиса для линейного оператора.