Интегральные формулы тензорного анализа

1°. В векторном анализе поток векторного поля через поверхность S определяется как: (здесь – орт нормали к поверхности S). При этом поток векторного поля это скаляр.

Аналогично можно определить поток тензорного поля ранга r через поверхность S, как .

При этом поток тензорного поля ранга r через поверхность S это тензор (r – 1)^го ранга (покажите, что поток это тензор). Всего существует r различных полей ранга (r – 1) типа «поток» в зависимости от того по какому индексу тензора Т идет свертка.

2°. Для векторных полей известна формула Гаусса-Остроградского:

.

Для тензорных полей существует r формул типа «Гаусса-Остроградского»

(справа и слева немой индекс должен быть один и тот же)

3°. Формула Стокса для векторного поля имеет вид .

Та же формула в тензорной записи выглядит так: .

Формула Стокса может быть записана и для тензорных полей ранга r:

.

Всего может быть записано r формул типа «Стокса».