Наращение аннуитета постнумерандо

Введем следующие обозначения показателей:

Ø R_t – величина t -го элемента ренты (для постоянной ренты R ₁ = R ₂ = =... = R_n = R);

Ø n – срок ренты;

Ø А – современная стоимость аннуитета постнумерандо;

Ø S – будущая стоимость аннуитета постнумерандо.

На рисунке 10.3 схематически изображена постоянная рента постнумерандо и процесс определения ее будущей стоимости.

R R R R

t =0 1 2 3 t= 4= n t

Рисунок 10.3 – Схема определения будущей стоимости аннуитета постнумерандо

Платеж, сделанный в момент n входит в наращенную сумму без изменения, т.е. в размере R. Платеж, сделанный в момент n -1 входит в наращенную сумму в размере R (1+ i); платеж, сделанный в момент n -2 входит в наращенную сумму в размере R (1+ i)² и т.д.

Будущая стоимость аннуитета постнумерандо S равна сумме наращенных стоимостей всех поступлений , другими словами, она представляет собой приведенную к концу периода (последнего n -го интервала) стоимость элементов данного ДП.

Наращенная стоимость каждого отдельного элемента аннуитета постнумерандо определяется зависимостью

, (10.2)

где j – порядковый номер элемента ДП в обратном порядке (j = n, n –1,…,2,1).

Следовательно, наращенная сумма всей ренты в момент n будет равна:

. (10.3)

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой b ₁ = R, знаменатель q = 1+ i, число членов равно n. По формуле (7.1) находим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

. (10.4)

Множитель, на который умножается R, называется множителем наращения ренты и обозначается

. (10.5)

Экономический смысл множителя s_{n ; i} заключается в том, что он показывает будущую стоимость постоянной ренты постнумерандо размером в одну денежную единицу. Из формул (7.3), (7.4) видно, что

. (10.6)

Тогда будущая стоимость аннуитета постнумерандо определяется по формуле

. (10.7)

Для последовательных интервалов времени, когда общий срок определяется как n = n ₁ + n ₂, множитель наращения ренты равен

. (10.8)

Для аннуитета с начислением процентов m раз в году

. (10.9)

Пример 10.1. В конце каждого года в течение 3 лет предприниматель вносит на банковский счет сумму в 5000 руб. под 24% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наращенную сумму к концу срока.

Решение

Рассматриваемый ДП является аннуитетом постнумерандо с начислением процентов 12 раз в год: n = 5; m = 12; R = 5000; j / m = 0,02. По формуле (10.9) рассчитаем будущую стоимость аннуитета:

5000·3,8767=19383,40 руб.