Первая теорема Чебышева

Теорема. При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию:

Доказательство: Рассмотрим величину Y равную

Определим числовые характеристики Y_n m_y и D_Y.

Запишем неравенство Чебышева для величины Y_n

Как бы ни было мало число e, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось неравенство , где - сколь угодно малое число. Тогда

Переходя к противоположному событию:

Т.е. вероятность может быть сколь угодно близкой к 1.

1.4.2. Вторая теорема Чебышева:

Теорема. Если Х₁.....Х_n – последовательность попарно независимых СВ с МО m_x₁....m_xn и дисперсиями D_x₁..D_xn ограничены одним и тем же числом D_xi<L (i=1..n), L=const, тогда для любого e, d> 0 – бесконечно малых

или

Доказательство: Рассмотрим СВ

Применим к Y неравенство Чебышева:

или

Заменим:

Как бы ни было мало число e, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось неравенство , где - сколь угодно малое.

Т.е., взяв предел при n®¥ от обеих частей и получаем:

(так как вероятность не может быть больше 1).

Пример1.1. Производится большое число n независимых опытов, в каждом из которых некоторая случайная величина имеет равномерное распределение на участке [1,2]. Рассматривается среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины X. На основании Закона больших чисел выяснить, к какому числу а будет приближаться величина Y при n→∞. Оценить максимальную практически возможную ошибку равенства Y≈a.

Решение. .