Теорема Бернулли

Пусть произведены n независимых опытов, в каждом из которых возможно событие А с вероятностью р. Тогда относительная частота появления события А в n опытах стремится по вероятности к вероятности появления А в одном опыте.

Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов до n частота события А сходится по вероятности к его вероятности р: ,

где -- частота события А в n опытах, где m -число опытов в которых произошло событие А, n -число проведенных опытов или

или .

Событие Х_i – число появлений события А в i-м опыте. СВ X может принимать только два значения: X=1 (событие наступило) и X=0 (событие не наступило). Пусть СВ Х_i – индикатор события А в i-м опыте. Числовые характеристики х_i: m _i = p D_i = pq.

Они независимы, следовательно, можем применить теорему Чебышева:

Дробь равна относительной частоте появлений события А в испытаниях Þ получаем

.

Пояснения: В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.