Примеры выполнения заданий

Пример 1.

Тело падает в сопротивляющейся среде с высоты под действием силы тяжести и силы сопротивления , пропорциональной квадрату скорости ( - постоянный коэффициент). С какой скоростью тело упадет на землю, если его начальная скорость ?

Решение.

На схеме (рис. 1) показаны начальное () и текущее () положение тела. Для начального положения тела показан вектор начальной скорости , для текущего – приложенные силы. Дифференциальное уравнение движения:

Так как

то дифференциальное уравнение движения можно переписать в виде

Но

Поэтому:

;

или

Это уравнение является линейным относительно . Если обозначить , , , его можно привести к виду

Общее решение этого уравнения:

где - произвольная постоянная.

Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем:

Начальное условие: при , . Поэтому:

, .

Следовательно:

Следовательно, при :

ПРИМЕР 2.

Лодка массой плавает в стоячей воде. На задней скамейке лодки, находящейся в покое, сидели два человека. Один из них, массой , перешел на нос лодки, пройдя по ней расстояние , другой, массой , переместился на среднюю скамейку на расстояние . На какое расстояние переместится при этом лодка?

При решении задачи людей считать материальными точками, сопротивлением воды пренебречь.

Решение.

На схеме (рис. 2) показаны внешние силы, действующие на механическую систему, состоящую из лодки и двух материальных точек, схематизирующих пассажиров лодки: силы тяжести , , и выталкивающая сила воды . Все внешние силы направлены по вертикали, их проекции на неподвижную горизонтальную ось Ох равны нулю. Поэтому дифференциальное уравнение движения центра масс С системы в проекциях на ось Ох будет:

или . Отсюда, интегрируя, находим . Значение постоянной интегрирования определяется из начального условия: при (так как вся система в начальный момент неподвижна). Тогда и . Интегрируя еще раз, получаем ( - координата центра масс системы при ).

По определению координата центра масс механической системы определяется выражением:

Поэтому из равенства следует или , или окончательно , где есть приращение координаты центра тяжести -го тела, входящего в систему, или, что то же, проекция его перемещения на ось Х.

В нашем случае абсолютные перемещения пассажиров и складываются из переносного перемещения вместе с лодкой и относительных по отношению лодки:

, .

Поэтому:

Отсюда:

Знак минус означает, что лодка перемещается против Х.

ПРИМЕР 3.

Горизонтальная прямоугольная пластина АВДЕ со сторонами АВ=а= 0,30 м, ВД = b =0,40 м и массой кг может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси , проходящей через точку Е (рис. 3). На пластине имеется прямоугольный желоб АД, по которому может двигаться без трения груз массой кг.

В начальный момент пластина и груз неподвижны, и груз находится в точке А, затем груз начинает двигаться по пластине под действием внутренних сил по закону , м.

Определить угловую скорость пластины как функцию времени и найти ее значение в момент, когда груз окажется в точке Д.

Решение.

На схеме показаны внешние силы, действующие на систему пластина – груз: силы тяжести , и реакции , , , , подшипника и подшипника . Моменты каждой из этих сил относительно оси равны нулю. Поэтому по теореме об изменении кинетического момента . Отсюда . Постоянная интегрирования , так как в начальный момент система неподвижна. Следовательно .

Так как система состоит из двух тел – пластины и груза, то ее кинетический момент равен сумме кинетического момента пластины и момента количества движения груза: . Пластина вращается вокруг неподвижной оси, поэтому ( - проекция вектора угловой скорости на ось ).

Момент инерции пластины по теореме Штейнера:

При определении момента количества движения груза учитываем, что его движение сложное и абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

По теореме Вариньона момент вектора относительно оси равен алгебраической сумме моментов его составляющих, поэтому момент количества движения груза равен сумме моментов векторов и :

На рис. 4 вектор относительной скорости направлен в положительную сторону оси , что соответствует случаю, когда:

В этом случае отрицателен (точка движется по отношению к оси по часовой стрелке). Если будет (проекция на ось отрицательно), то направление будет противоположным и должен быть положительным. В обоих случаях справедливо равенство

Аналогично направление вращения пластины и переносной скорости показаны на рис. 4 для случая, когда . В этом случае и . Если же будет , то вектор будет направлен в противоположную сторону и равен по модулю ; момент количества движения будет равен:

Таким образом, и для момента вектора в обоих случаях ( и ) получили одинаковое выражение . Следовательно, при любых знаках величин и момент количества движения груза:

Вычислим и . Из . Из . Следовательно, . Из по теореме косинусов . Из . Поэтому .

Подставляя и в выражение для и прибавив к нему кинетический момент пластины, получим выражение для кинетического момента системы, который по доказанному ранее равен нулю:

После подстановки числовых значений получаем:

откуда

или

Чтобы определить значение в момент прихода груза в точку , замечаем, что в этот момент , или ; откуда с. При с получаем .

ПРИМЕР 4.

Ступенчатый шкив 1, имеющий массу и радиус инерции относительно оси вращения , обмотан гибкими нерастяжимыми нитями. К нити, сходящей со ступени радиуса прикреплен груз 2 массы . К нити, сходящей со ступени радиуса , шарнирно прикреплен цилиндр 3 в точке , лежащей на его оси. Этот цилиндр также обмотан нитью, конец которой закреплен в точке А. Участки и параллельны. Радиус цилиндра равен , а его масса - и равномерно распределена по его объему. Массы и радиусы удовлетворяют условию . Пренебрегая трением в шарнирах, определить угловую скорость ступенчатого шкива в функции угла его поворота, его угловое ускорение , натяжения нитей , , и реакцию оси . В начальный момент система неподвижна.

Решение.

Кинетическая энергия ступенчатого вала, вращающегося вокруг неподвижной оси:

Кинетическая энергия груза 2, совершающего поступательное движение:

Кинетическая энергия цилиндра, совершающего плоскопараллельное движение:

Мгновенный центр скоростей сечения цилиндра плоскостью чертежа находится в точке В (так как скорость участка нити АВ равна нулю).

Поэтому . Момент инерции цилиндра . Подставив эти выражения в формулу для , получим:

Учитывая, что , окончательно

Кинетическая энергия системы

При повороте ступенчатого шкива на угол груз опускается на величину , а ось цилиндра поднимается на . Сумма работ сил тяжести:

Другие силы, приложенные в данной системе, работы не совершают.

Так как в начальный момент система неподвижна, то по теореме об изменении кинетической энергии:

Это равенство и определяет зависимость от .

Чтобы найти угловое ускорение шкива 1, дифференцируем левую и правую части этого равенства по времени:

Так как , , то отсюда получаем:

Чтобы определить натяжение нити , напишем уравнение второго закона Ньютона для груза 2, к которому приложены силы и (рис. 6):

где - ускорение груза.

Отсюда

Для определения натяжения нити применим к ступенчатому шкиву дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. К шкиву приложены силы , , , (рис. 7). Поэтому

Так как , то отсюда

Для определения реакции применим к шкиву теорему о движении центра масс:

Так как , то

Наконец, для определения натяжения нити АВ применим теорему о движении центра масс к цилиндру 3, на который действуют внешние силы , , (рис. 8):

Так как , то отсюда

Подставив сюда выражение , получим .

ПРИМЕР 5.

Пользуясь принципом возможных перемещений, определить для составной конструкции, изображенной на схеме (рис. 9), реактивный момент и вертикальную составляющую реакции заделки, если . , , м, кН, кН.

Решение.

Для определения реактивного момента заменим заделку в точке А шарнирно-неподвижной опорой, компенсировав отброшенную связь ее реакцией – реактивной парой сил с неизвестным моментом (рис. 10).

Получившейся механической системе с одной степенью свободы даем возможное перемещение, повернув мысленно уголок АДВ на бесконечно малый угол , например по часовой стрелке. Точка В получит при этом возможное перемещение , направленное перпендикулярно АВ и равное по модулю ; точка С получит возможное перемещение , параллельное опорной плоскости шарнирно-неподвижной опоры С; стержень ВС повернется вокруг точки L – центра поворота, определенного как и МЦС в кинематике, как точка пересечения перпендикуляров, проведенных через точки В и С к направлениям их возможных перемещений. Угол , на который стержень ВС повернется вокруг точки L, определяется равенством:

, откуда

Для нахождения воспользуемся теоремой синусов. Из (см. рис. 10):

Отсюда:

Следовательно,

Теперь подсчитаем и приравняем к нулю сумму работ сил , и пары с моментом при возможном перемещении системы.

Используя правило: работа сил, приложенных к вращающемуся телу, равна взятому с соответствующим знаком произведению момента сил относительно оси вращения на угол поворота. Поэтому:

Здесь в первых скобах записана сумма моментов силы и реактивной пары относительно точки А. Для определения момента силы она была разложена на вертикальную и горизонтальную составляющие. Со знаком плюс записаны моменты, направленные в сторону поворота . Момент пары записан со знаком минус, так как она стремится вращать уголок в направлении, противоположном возможному перемещению . Во вторых скобках записано плечо силы относительно точки L. Знак минус перед второй скобкой поставлен потому, что сила стремится вращать стержень ВС вокруг точки L в направлении противоположном возможному перемещению .

Заменяя в предыдущем равенстве его выражением через и учитывая, что , , можем переписать его в виде:

Так как , то отсюда:

кН×м.

Для нахождения вертикальной составляющей реакции заделки А заменим в исходной схеме заделку ползуном, который может перемещаться в вертикальном направлении и к которому жестко прикреплен угол АДВ, а отброшенную связь компенсируем вертикальной реакцией (рис. 11).

Даем получившейся механической системе возможное перемещение, мысленно переместив угол АДВ поступательно вверх (). Стержень ВС повернется вокруг центра поворота G на угол . Уравнение принципа возможных перемещений запишется в виде:

откуда, учитывая, что , , , получаем

кН.

ПРИМЕР 6.

Сплошной однородный цилиндр 1 массой кг и радиусом м может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси . С цилиндром жестко скреплены тонкие однородны стержни 3 и 4 массой и длиной каждый. В середине В стержня 4 к нему прикреплена нить, перекинутая через невесомый блок 2 и намотанная на цилиндр 5, одинаковый с цилиндром 1. При движение системы ось цилиндра 5 перемещается по вертикали. В точке Д к стержню 3 прикреплена пружина жесткостью кН/м. В начальном положении системы стержень 3 и участок нити между стержнем и блоком расположены горизонтально, а стержень 4 и ось пружины – вертикально; пружина растянута на величину .

Начальные значения обобщенных координат и равны нулю, а обобщенных скоростей - , . Трением в осях , , массой пружины и нити пренебрегаем.

Используя уравнение Лагранжа II рода, найти кинематические уравнения движения системы при малых отклонениях цилиндра 1 от начального положения и определить круговую частоту и период колебания системы.

Решение.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий вращающегося цилиндра 1 с жестко присоединенными к нему стержнями и цилиндра 5, совершающего плоскопараллельное движение:

В этом выражении - момент инерции цилиндра относительно его оси; - момент инерции стержня; в квадратных скобках – момент инерции цилиндра 1 с жестко присоединенными к нему стержнями.

Скорость центра цилиндра 5 равна сумме скорости точки нити и скорости точки во вращательном движении вокруг полюса .

Для определения рассмотрим положение системы, при котором цилиндр 1 и стержни 3 и 4 отклонены от начального положения на угол (рис. 13). Скорость точки нити равна скорости точки Е, в которой участок нити ВЕ касается блока 2. Так как нить нерастяжима, то проекция скоростей точек В и Е на направление нити равны. Поэтому:

Теперь воспользуемся малостью отклонений стержней от начального положения. Как известно, функция и можно разложить в ряды Маклорена:

;

При «малых» (до 0,1 радиана) значения и отличаются от первых членов соответствующих разложений менее чем на 0,5%. Поэтому можно принять , . Так как при «малом» угол также является «малым», то . Поэтому в этом случае

, тогда .

Подставляя в ранее написанное выражение для Т, после простых преобразований приводим его к виду:

Для нахождения обобщенных сил и , соответствующих обобщенным координатам и , вновь обратимся к рис. 13. Чтобы определить , дадим мысленно системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата изменяется на бесконечно малую величину , а обобщенная координата не изменяется. В этом случае точка В получит возможное перемещение , направленное по вектору . Такие же по абсолютному значению перемещения при «малых» получат точки Е, G, К и . Поэтому сила тяжести цилиндра 5 совершит работу . Работа сил тяжести стержней и силы упругости пружины равна произведению их момента относительно оси вращения на угол поворота , т.е.

Из рис. 13 видно (см. ), что

При . Этот результат означает, что угол является малым более высокого порядка, чем (имеет порядок квадрата ), и по сравнению с им можно пренебречь. Тогда сумма работ всех задаваемых сил при повороте цилиндра 1 на угол будет:

Укорочение пружины, соответствующее положению цилиндра 1, повернутому из начального положения на угол , равно разности . Длина укоротившейся пружины равна

или при «малых» :

Следовательно, укорочение пружины

Так как в начальный момент пружина была растянута на величину , то ее растяжение уменьшается и станет , а упругая сила будет .

Обобщенна сила, соответствующая углу :

или окончательно

Для нахождения обобщенной силы , соответствующей обобщенной координате , нужно сообщить системе возможное перемещение, при котором останется неизменным, а увеличивается на бесконечно малую величину . В этом случае работу совершает только сила тяжести цилиндра 5: .

Обобщенная сила:

Теперь составим уравнение Лагранжа:

, .

Частные производные:

; .

, .

Уравнение Лагранжа будет иметь вид:

;

Из второго уравнения после сокращения его на :

Подставив это выражение в первое уравнение, после простых преобразований получим:

Обозначим:

Величина:

1/с

и представляет искомую круговую частоту колебаний.

Период колебаний:

с.

Общее решение дифференциального уравнения малых колебаний цилиндра:

есть функция:

Для нахождения постоянных интегрирования и используем начальные условия: при , , (1/с).

Из первого условия следует ; из второго условия, учитывая, что:

получаем ; . Поэтому окончательно:

Для нахождения интегрируем ранее полученное уравнение:

Имеем:

Из начальных условий: при , , следует ; . Тогда:

Интегрируя еще раз, получаем:

Из начальных условий: при , , следует . Поэтому:

После подстановки числовых значений:

ПРИМЕР 7.

Вывести кинематические уравнения движения системы, показанной на рис. 14, пренебрегая массой пружины. Качение катка происходит без проскальзывания. Трением в оси пренебречь. Блок и каток – одинаковые цилиндры радиусом м и массой кг, равномерно распределенной по их объему. Жесткость пружины Н/м.

Начальные значения обобщенных координат и равны нулю; начальное удлинение пружины ; начальные значения обобщенных скоростей м/с, .

Решение.

Кинетическая энергия системы:

Обобщенные силы:

, ,

где - сила упругости пружины.

Уравнение Лагранжа для рассмотренной системы:

; .

Сила упругости зависит от деформации пружины, которая равна , где - начальное значение деформации. Обозначим . Тогда ; . С другой стороны, дифференциальные уравнения движения системы можно представить в виде: