Уравнение движения тягового элемента цепного конвейера

Уравнение продольных колебаний цепи можно получить, рассматривая равновесие её элементарного отрезка длиной δ_х (рис 10.1). При этом отрезок цепи рассматривают как эквивалентный упругий стержень. Краевые условия выбирают в зависимости от того, какой режим работы конвейера рассматривают: пусковой или установившийся.

Рисунок 10.1 - Схема для определения динамических параметров конвейера, характеризующих продольные колебания цепи

Растягивающую силу S определяют как произведение относительной деформации ðu_ц/ðх на жёсткость c₀, т.е.

S = c₀· ∂u_ц/∂х, (10.1)

где u_ц – удлинение цепи; х – длина цепи от точки 1 возбуждения колебаний до рассматриваемого элемента.

Сила, действующая в сечении, смежном с сечением, в котором действует сила S, равна:

S + δS = c₀( + δx).

Приращение силы δS = c₀ δx,

а сила инерции δJ_и = q_ц·(j + ∂²u_ц/∂t²)δx,

где j – ускорение колеблющегося элемента.

Элементарная сила сопротивления движению цепи равна

δW = -gq_ц·w·δx,

где w – усреднённый коэффициент сопротивления движению.

Уравнение движения элемента: δS - δJ_и – δW = 0

или c₀ δx – q₀(j + )δx - gq_цω·δx = 0,

где q₀ – распределённая масса цепи.

После преобразования находим

υ = j + gω. (10.2)

Таким образом, получено искомое волновое уравнение вынужденных колебаний эквивалентного цепи стержня, происходящих под действием внешнего периодического возмущения.

Собственные (свободные) колебания цепи описываются уравнением

υ²· ∂²u_ц/∂х² – ∂²u_ц/∂t² = 0 (10.3)

Появившиеся в цепи упругие волны отражаются в точках контакта её со звёздочками и, двигаясь навстречу вновь возбужденным волнам, интерферируют. Интерференция упругих волн может вызвать высокие динамические усилия в цепи, особенно при резонансе. Последний возникает при совпадении частот вынужденных и собственных колебаний τ₁^' и периода τ_в изменения вынуждающей силы: τ₁^'= 2L_ц/υ; τ_в= 2π/(ωz₀).

Условие возникновения резонанса имеет вид

2π/(ωz₀) = 2L_ц/υ,

откуда ωz₀L_ц/(πυ) = 1.

В общем случае это условие выражается так:

vL_ц/(Ɩ₀υ) = А^', (10.4)

где А^'=(2i ±1)/(2i) – коэффициент пропорциональности; i – любое целое число; Ɩ₀ – шаг цепи; v – средняя скорость цепи; υ – скорость распространения вдоль цепи динамических деформаций:

υ =

Здесь Е_ц – модуль упругости эквивалентного стержня; ρ_ц – плотность упругого, эквивалентного полотну цепи стержня.

Следует стремиться к тому, чтобы выбранные параметры конвейера v, Ɩ₀ и другие определяли значения А^', лежащие в средней части промежутков между его критическими значениями.

Основная литература [5, с.74…79]

Дополнительная литература [10, с.359…360]

Контрольные вопросы:

1. Как рассматривают отрезок цепи с целью получения уравнения её продольных колебаний?

2. Напишите волновое уравнение вынужденных продольных колебаний цепи конвейера, возникающих от действия внешнего периодического возмущения.

3. Как в общем случае выражается условие возникновения резонанса в цепи конвейера?

Лекция 11