Дать определение потенциального силового поля. Доказать свойства стационарного потенциального силового поля

Силовое поле - часть пространства, в кот. на движущуюся материальную точку действуют силы, зависящие от корд. точки и t, но не зависящие от скорости.

Если сила явно не зависит от t, то силовое поле - стационарное.

Ф-ция зависит только от координат, частные производные от этой ф-ции по координатам равны проекциям силы силового поля на соотв. оси: ; ; (1)

Ф-ция , удовл. условиям (1), наз. силовой функцией данного силового поля, а само силовое поле наз. пот. (консервативным).

- .

Элемент. работа силы стационарного пот. поля равна полному дифф. силовой ф-ции.

- (2)

Полная работа силы стационарного пот. поля не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка, и опред. нач. и конеч. положениями точки.

- Из (2): что работа силы стационарного пот. поля по любому замкнутому перемещ. равна нулю. Силовая ф-ция может принимать другие значения после возвращения в начальную точку в зависимости от числа обходов, если внутри замкнутого конура есть особые точки.

- Чтобы стационарное силовое поле было пот. оно должно быть безвихревым:

; ; или кратко: rot

Докажем: для производных высших порядков, порядок дифф. значения не имеет: , аналогично и остальные.