Вывести дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы без учета сопротивления. Изложить его решение в случае отсутствия резонанса

Q(t) - обобщенная сила характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему.

, где: H - амплитуда, p - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза обобщенной силы.

Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .

Уравнение Лагранжа II рода: (1).

Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: , . Находим: (2).

Поставляя (2) в (1), получим: , где: = const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы, = const.

- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (1).

Решение q(t) это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, то есть: .

Однородное уравнение для определения это уравнениее собственных колебаний, его решение: .

Частное решение неоднородного уравнения называют вынужденными колебаниями системы. Оно зависит от соотношения круговых частот «k» и «p» свободных колебаний и возмущающей силы. Здесь возможны два случая: отсутствие резонанса () и резонанс ().

k¹p

- частное решение (1)

Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): , или в амплитудной форме:

.

Постоянные и определяются из начальных условий: .

Вывести дифференциальное уравнение вынужденных колебаний механической системы с одной степенью свободы без учета сопротивления. Изложить его решение в случае резонанса. Графики амплитуды и сдвига фаз вынужденных колебаний.

Q(t) - обобщенная сила характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему.

, где: H - амплитуда, p - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза обобщенной силы.

Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии .

Уравнение Лагранжа II рода: (1).

Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: , . Находим: (2).

Поставляя (2) в (1), получим: , где: = const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы, = const.

- НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (1).

Решение q(t) это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, то есть: .

Однородное уравнение для определения это уравнение собственных колебаний, его решение: .

Частное решение неоднородного уравнения называют вынужденными колебаниями системы. Оно зависит от соотношения круговых частот «k» и «p» свободных колебаний и возмущающей силы. Здесь возможны два случая: отсутствие резонанса () и резонанс ().

k=p

- частное решение (1)

Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): , или в амплитудной форме:

.

Постоянные и определяются из начальных условий: .

.