Пример выполнения задания Д 1

Тема: Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки».

Исходные данные:

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ сек. Его начальная скорость υ_А. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке В тело покидает плоскость и попадает в точку С плоскости наклоненной под углом β к горизонту, находясь в воздухе Т сек.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Исходные данные:

Α=15⁰, υ_А=2м/с; f =0,2; h=4 м; B=45⁰

Схема показана на рисунке 1.

Определить параметры движения точки на участках АВ и ВС (скорость в точке В - υ_b,время движения на участке ВС - T, длину участка АВ - l, скорость в точке С - υ_c, расстояние, пройденное телом по оси ОХ на участке ВС - d, время в течении которого точка движется на участке АВ - τ) и уравнение траектории точки на участке ВС.

Рис. 1

Рассмотрим движение тела на участке АВ. Принимая тело за материальную точку, покажем действующие на него силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения .

Составим дифференциальное уравнение движения тела на участке АВ в проекции на ось x₁:

,

, т.к. движение вдоль оси y₁ отсутствует, то ;

Отсюда: .

Разделив на m, получим:

α);

Дважды интегрируя дифференциальное уравнение, получаем:

Для определения постоянных интегрирования, воспользуемся начальными условиями задачи: при . Подставив начальные условия в уравнения получим:

;

Найдем постоянные:

; м/с

Тогда:

Подставим конечные условия: ; .

Получим уравнения:

Рассмотрим движение тела на участке ВС.

Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения в проекциях на координатные оси и :

;

=mg;

Разделив на m, получим:

Интегрируем дифференциальное уравнение дважды:

;

;

Начальные условия при t = 0:

= α;

= ;

=0;

=0;

Получим следующие уравнения проекций скорости тела:

и уравнения его движения

Подставим конечные условия. В момент падения,

;

.

Получим систему уравнений:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Определим d:

т.к. , то h=d

Используя уравнения движения камня, найдем время Т движения тела от точки В до точки С и скорость в точке В. Из уравнения (5):

; Подставив в уравнение (6), получим:

; Решим совместно уравнения (5) и (6):

Отсюда:

; Определив скорость найдем время падения T на участке ВС:

Определив , найдем из уравнений (1) и (2)время движения тела от точки А до точки В на участке АВ и длину участка АВ:

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:

Для момента t = Т = 0,773 сек.

Уравнение траектории движения тела на участке ВС найдем, исключив параметр t из уравнений движения, получим уравнение параболы:

Подставив значения, получим:

Таблица ответов:

d, м	, м/с	Т, с	, с	м	, м/с	у=у(t)
	5,357	0,733	5,205	19,147	10,349	У=0,18x2+0.2682x