Исследованию движения механической системы»

Уравнения Лагранжа второго рода – дифференциальные уравнения второго порядка в обобщенных координатах. Они дают единый и достаточно простой метод решения задач динамики для любых как угодно движущихся голономных и стационарных систем. Число уравнений не зависит от числа входящих в механическую систему точек или тел, а зависит от числа степеней свободы.

Силы, действующие на систему, представлены в виде обобщенных сил, куда входят только внешние силы, а все реакции идеальных связей автоматически исключаются и их можно не показывать на чертеже. Также, если на систему действуют силы трения, то их включают в число внешних сил.

Механическая система под действием силы тяжести приходит в движение из состояния покоя, необходимо определить ускорения всех тел, входящих в систему.

В данном методе решения задачи воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:

, (1)

где: - обобщенные силы;

- кинетическая энергия механической системы;

- обобщенная координата;

- обобщенная скорость.

Покажем на механической системе веса тел , , ; обобщённую скорость обобщённую координату . Схема механической системы указана на рисунке 10.

Рис.10

Запишем уравнения взаимосвязи между параметрами:

(2)

где: , - угловые скорости тел;

- линейные скорости точек тел;

- скорость центра масс однородного катка 3;

, , - радиусы тел 2 и 3.

Кинетическая энергия рассматриваемой системы T в конечном ее положении равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3:

. (3)

Кинетическая энергия груза 1, который движется поступательно:

. (5)

Кинетическая энергия блока 2, с заданным радиусом инерции, совершающего вращательное движение:

; (6)

. (7)

Используя уравнение (2), получаем:

. (8)

Кинетическая энергия сплошного однородного цилиндра 3, совершающего плоское движение, складывается из кинетической энергии поступательного движения центра тяжести катка и кинетической энергии его вращательного движения :

. (9)

Определим кинетическую энергию поступательного движения цилиндра 3, используя уравнение связи:

. (10)

Определим энергию вращательного движения цилиндра 3, используя уравнение связи:

. (11)

Момент инерции для сплошного однородного цилиндра 3 равен:

; (12)

. (13)

Тогда кинетическая энергия механической системы будет равна:

(14)

Или кинетическая энергия механической системы в обобщенных координатах:

, (15)

Дифференцируя выражение (15) по обобщенной координате q₁, и времени t получим:

;

;

.

Обобщенная сила равна отношению алгебраической сумме элементарных работ всех внешних сил, действующих на систему к обобщенной координате :

; (17)

; (18)

Работа груза 1 равна:

. (19)

Работа веса блока 2 будет равна нулю, так как блок 2 не совершает никаких перемещений:

.

Учитывая уравнения связи, получаем, что работа веса однородного цилиндра 3 равна:

(20)

Работа силы трения груза 1 равна: (21)

. (22)

Сумма элементарных работ механической системы равна:

. (23)

Подставив (23)в (17),получим значение обобщенной силы :

. (24)

Подставим (16) и (24) в (1) получим уравнения Лагранжа второго рода в виде:

.

Из уравнения выразим обобщенное ускорение груза 1:

;

Для нахождения ускорений остальных тел подставим значение в уравнения взаимосвязи между параметрами:

;

; .