double arrow

Потенциальная энергия центральных сил. Градиент потенциальной энергии. Эквипотенциальные поверхности


• Силы, действующие по прямой, соединяющей частицы, и зависящие только от расстояния между ними, называются центральными. Общим для всех центральных сил является следующий закон:

.

При смещении одной из частиц на : ,

т.е. изменение расстояния между частицами.

Отсюда следует, что работа центральной силы:

2 rdr .

er r

Для любой функции результат интегрирования

1 определяется лишь начальным r1 и конечным r2

положениями траектории, и может быть записан так:

.

Любая центральная сила является консервативной и частица в поле центральных сил обладает потенциальной энергией.

Примеры центральных сил: гравитационная, кулоновская, упругая силы.

1) Сила гравитационного притяжения.

Тогда потенциальная энергия притяжения двух точечных масс имеет вид:

.

2) Кулоновская сила.

3) Сила упругости.

Из определения потенциальной энергии следует:

При перемещении вдоль оси Х (когда dy = dz = 0), имеем:

Проекция консервативной силы на ось ОХ равна частной производной от потенциальной энергии по Х-координате. Аналогично

.

Выражение консервативной силы через потенциальную энергию:




.

Введем оператор «набла»: Þ

.

Геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия частицы (или потенциал) одинакова, называется эквипотенциальной поверхностью.

Уравнение такой поверхности: U|s = const.

При перемещении по этой поверхности dU = 0, и из = 0

То есть, проекция силы на эквипотенциаль всегда равна нулю.

Поэтому

вектор консервативной силы всегда перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.

Если – единичный вектор нормали к эквипотенциальной поверхности, то Fn = - ¶U/¶n ¶U/¶n > 0, Fn < 0 Þ

вектор консервативной силы всегда направлен в сторону убывания (уменьшения) потенциальной энергии, и в том же направлении под действием силы будут ускоряться все тела. Вектор grad U направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, но противоположно силе.

3.5. Механическая энергия частицы и закон ее сохранения.
Неконсервативные силы

Полная механическая энергия частицы: E = K + U.

Если на частицу действуют только консервативные силы, то с одной стороны dA = – dU , с другой (из второго закона Ньютона): dA = dK Þ – dU = dK d(K + U) = dE = 0 Þ

механическая энергия частицы, подверженной действию только консервативных сил, сохраняется.

Неконсервативные силы – силы, работа которых зависит от длины и формы пути. То есть, работа неконсервативных сил на замкнутом пути не равна нулю, с ними не связана потенциальная энергия.

Примеры: сила трения скольжения, сила вязкого трения.

Работа силы трения скольжения зависит не от перемещения тела, а от длины пути: Aтр = - mNl и не равна нулю при возвращении тела в исходную точку.



Пусть на частицу действуют как консервативные, так и неконсервативные силы. Уравнение движения этой частицы будет иметь вид:

dE = d(K + U) = dAнеконс.

Изменение полной механической энергии частицы равно работе всех действующих на нее неконсервативных сил:

.

При этом изменение механической энергии в замкнутой системе компенсируется изменением тепловой, химической и других видов энергии.

Разделим почленно закон изменения энергии на dt

.

скорость изменения полной механической энергии равна мощности неконсервативных сил.

Важный случай неконсервативных сил – диссипативные силы – силы, зависящие от скорости частицы и направленные против скорости:

.

Пример – сила вязкого трения.

4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ.
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ







Сейчас читают про: