Двухканальная система с упорядоченным поиском

Возможные состояния системы: S₀₀ - оба канала обслуживания свободны; S₁₀ - первый канал занят, второй свободен; S_0A - второй канал занят, первый свободен; S₁₁- заняты оба канала. В общем случае производительности каналов могут оказаться разными (μ₁, μ₂).

Размеченный граф состояний системы представлен на рис. 8.2.

Число возможных состояний системы – четыре, система свободна (S₀₀), первый канал занят (S₁₀), второй канал занят (S_0A), оба канала заняты (S₁₁). Первым заявку всегда принимает к обслуживанию первый канал, который имеет с интенсивность обслуживания μ₁. Если в момент, когда система находится в состоянии S₁₀ приходит новая заявка, то она переводит систему в состояние S₁₁.

В этом состоянии две заявки обслуживаются двумя каналами с производительностями μ₁ и μ₂.

Если в состоянии S₁₁ окончит обслуживание второй канал, то системы возвращается в состояние S₁₀ (с интенсивностью μ₂).

Если в состоянии S₁₁ окончит обслуживание первый канал, то системы переходит в состояние S_0A (с интенсивностью μ₁).

В состоянии S_0A возможны два варианта:

- поступает новая заявка (с интенсивностью λ) и возвращает систему в состояние S₁₁;

- оканчивает обслуживание второй канал (с интенсивностью μ₂) и возвращает систему в состояние S₀₀.

Стационарные вероятности определяются системой уравнений:

Система уравнений позволяет выразить стационарные вероятности через вероятность p₁₁. Последовательно из второго, четвертого и, скажем, третьего уравнений находим

Воспользовавшись нормировочным уравнением, находим и вероятность отказа в обслуживании (p₁₁)

В частности, при m₁=m₂=m

,

что соответствует вероятности отказа в двухканальной системе с отказами при случайном поиске свободного канала.

Анализ выражения для вероятности отказа в обслуживании показывает, что для большей эффективности обслуживания первый прибор должен иметь большую производительность.

Пример

Найти вероятности отказов двухканальных систем с упорядоченным (в порядке нумерации) поиском свободного канала, отличающихся только нумерацией каналов обслуживания. Каналы обслуживания имеют разную производительность.

Параметры первой системы: n=2, l=1, m₁=1, m₂=2.

Параметры второй системы: n=2, l=1, m₁=2, m₂=1.

Для второй системы найти отношение потоков заявок, обслуженных первым и вторым каналами.

Решение. Воспользовавшись формулой для вероятности отказа двухканальной системы с упорядоченным поиском, для первой и второй системы получим . Следовательно, размещение канала с большей производительностью под первым номером уменьшает вероятность отказа более чем на 20%.

Первый канал обслуживания загружен с вероятностью P₁=p₁₀+p₁₁, второй - с вероятностью P₂=p_0A+p₁₁. Потоки заявок, обслуженных первым и вторым каналами равны, соответственно:

I₁=m₁P₁, I₂=m₂P₂.

Отношение потоков

.

Таким образом, абсолютная пропускная способность первого канала оказывается в три раза больше, чем второго. Это происходит вследствие того, что поток, поступающий на второй канал, имеет меньшую интенсивность, что уменьшает вероятность его занятости.

Отсюда следует рекомендация: для уменьшения вероятности отказов в обслуживании при поиске свободного канала в порядке их нумерации первые номера надо присваивать каналам с наибольшей производительностью.