Упорядоченный поиск свободного канала

Рассмотрим упорядоченный поиск свободного канала в многоканальной системе с отказами, при котором заявку принимает на обслуживание свободный канал с наименьшим порядковым номером. Такой поиск свободного канала прост в технической реализации, а в ряде случаев является естественным. Поиск, начиная с первого, позволяет увеличить абсолютную пропускную способность системы нумерацией каналов в порядке уменьшения их производительности.

Найдем вероятность того, что в процессе упорядоченного поиска свободного канала очередная заявка получит отказ в обслуживании в канале с номером k(k=1..n).Это произойдет, если одновременно произойдут два независимых события:

1) Oкажутся занятыми первые (k-1) канал системы. В противном случае заявка была бы принята первым свободным каналом с номером, меньшим или равным (k-1).

2) Окажется занятым канал с номером k.

Обозначим r₁(k,a) вероятность занятости канала с номером k при условии, что заняты первые k каналов. Вероятность того, что заняты первые (k-1) каналов и занят канал с номером k, равна вероятности занятости всех каналов от первого до k-го, то есть

,

где

.

При этом общее число каналов в системе (n) не имеет значения.

Отсюда вероятность отказа в обслуживаниизаявки в (k+1)-ом каналепри условии, что заняты первые k каналов

.

В соответствии с первой формулой Эрланга при k=1 R(0,a)=1, а вероятность получения отказа в обслуживании в первом канале

оказывается равной вероятности занятости канала обслуживания одноканальной системы независимо от общего числа каналов с системе.

На рисунке представлены зависимости вероятности занятости каналов от их порядкового номера при разных нагрузках. Из рисунка видно, что вероятность занятости канала уменьшается с ростом его номера, т.е. каналы при поиске в порядке нумерации загружены неравномерно. При упорядоченном поиске вероятность занятости канала зависит только от его порядкового номера и не зависит от общего числа каналов в системе.

Вероятность противоположного события, то есть того, что канал с номером k свободен при условии, что заняты первые k-1 каналов, равна

r₀(k, a)=1-r₁(k, a).

Следовательно, вероятность того, что поиск прекратится на канале с номером k, равна произведению вероятностей занятости первых (k-1) каналов на вероятность того, что канал с номером k свободен, т.е.

,

В частности, при k = 1 получим вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию в первом канале

,

то есть вероятности того, что в одноканальной системе с отказами канал обслуживания свободен. При этом общее число каналов в системе не имеет значения.

Сумма вероятностей окончания поиска на одном из каналов

естественно, оказалась равной вероятности обслуживания заявки в n-канальной системе с отказами.

Если заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ в обслуживании без поиска (число шагов поиска равно нулю), то математическое ожидание числа шагов

.