Режимы работы и основные характеристики

Различают два режима работы - статический и динамический.

А. Статика (рис.2.35).

Рис.2.35

Коэффициент передачи или чувствительность линейного устройства

.

Две типовые структурные схемы ЛУ приведены на рис.2.36.

При последовательном соединении звеньев устройства (рис.2.36,а) коэффициент передачи

.

Рис.2.36

Для устройств с обратной связью (рис2.36,б, где x_oc - сигнал обратной связи; ИСС - измерительная схема сравнения сигналов x и x_oc )

где “+” берется при отрицательной обратной связи, а “-” - при положительной обратной связи.

Б. Динамика. Идеальное линейное устройство (ИЛУ) (рис.2.37).

Рис.2.37

Реальное линейное устройство (РЛУ). Для описания его работы в динамическом режиме служат следующие характеристики.

1. Линейное дифференциальное уравнение:

а_ny⁽ⁿ⁾ (t)+ а_n-1y^(n-1) (t)+…+ а₁y¢ (t)+ а₀y(t)= b₀x(t)+ b₁x¢ (t)+…+ b_mx^(m) (t),

где а_n и b_m - параметры устройства. Решение данного уравнения дает связь между функциями x(t) и y(t).

2. Частотные характеристики:

а) Комплексный коэффициент передачи (рис.2.38).

Функция , определяемая как отношение спектра выходного сигнала к спектру входного сигнала и где w - вещественная частота, называется комплексным коэффициентом передачи или комплексной частотной характеристикой устройства. Ее можно представлять в другой форме:

,

где - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

- фазочастотная характерстика (ФЧХ).

Для идеального устройства АЧХ (2.39,а) и ФЧХ (2.39,б) имеют вид (рис.2.39):

Рис.2.39

Идеальная ФЧХ может быть двух видов:

1) j(w) = 0 (прямая 1) - такая характеристика не вносит запаздывания;

2) j(w) = - wt₀ (прямая 2) - вносит запаздывания на время t₀ (рис.2.40).

Рис.2.40

Комплексный коэффициент передачи можно найти из дифференциального уравнения, произведя замену оператора дифференцирования d/dt на оператор jw:

.

Процесс прохождения сигнала через ЛУ на основе спектрального представления сигнала поясняет схема на рис.2.41.

Рис.2.41

б) Передаточная функция (рис.2.42).

Функция называется передаточной функцией, где р - комплексная частота. Это обобщение функции К(jw).

Передаточную функцию К(р) можно получить:

1) из дифференциального уравнения заменой d/dt на оператор “р”

где z_i - нули; р_i - полюсы передаточной функции;

2) из комплексного коэффициента передачи заменой (jw) на “р”

.

Передаточная функция нашла широкое применение при анализе и синтезе линейных устройств (рис.2.43 и 2.44).

3. Временные характеристики:

a) Весовая функция. Реакция (или отклик) устройства на d-функцию (рис.2.45) называется весовой или импульсной функцией g(t).

Рис.2.45

Эта функция связана простым соотношением с комплексным коэффициентом передачи К(jw). Очевидно, спектр весовой функции

.

Отсюда на основании обратного преобразования Фурье имеем

или при замене (jw) на оператор “р” получим

,

т. е. обратное преобразование Лапласа передаточной функции дает импульсную функцию.

На практике обычно решается обратная задача. На вход устройства подают испытательный сигнал d(t). В результате эксперимента получают весовую функцию g(t). Затем на основании весовой функции определяют или комплексный коэффициент передачи К(jw), или передаточную функцию К(р):

б) Переходная функция. Реакция устройства на единичную функцию 1(t) называется переходной функцией h(t) (рис.2.46).

Рис.2.46

Рассмотрим связь между функциями h(t), К(jw) и К(р). Очевидно, спектр переходной функции:

На основании обратного преобразования Фурье этого спектра с учетом фильтрующих свойств дельта-функции d(w) следует

Если учитывать только переменную (~) составляющую отклика (постоянной составляющей K(0)/2 пренебрегаем), то тогда окончательно имеем: