Корреляционная функция. В процессе проектирования измерительных систем для решения некоторых задач измерений возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами

В процессе проектирования измерительных систем для решения некоторых задач измерений возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами. При этом выбор сигналов диктуется не технической простотой их генерирования и преобразования, а возможностью оптимального решения измерительной задачи.

Для количественной оценки степени различия сигналов x(t) и x(t-t) применяют автокорреляционную функцию (АКФ) B(t) сигнала x(t). Ее определяют как скалярное произведение сигнала и его задержанной копии:

Если x(t) носит импульсный характер, то этот интеграл заведомо существует.

Основные свойства автокорреляционной функции:

1) - при t=0 АКФ равна энергии сигнала;

2) - функция четная;

3) - при любом t модуль АКФ не превосходит энергии сигнала.

В качестве примера рассмотрим вид АКФ прямоугольного видеоимпульса с амплитудой U и длительностью t_и (рис.2.13).

На рис.2.13 затененные области показывают наложение сигналов, при котором произведение x(t)x(t-t) отлично от нуля. Это будет при .

Таким образом, АКФ является симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. В зависимости от вида сигнала x(t) АКФ убывает монотонно или колебательно.

Установим связь между АКФ B(t) сигнала x(t) и его энергетическим спектром E(w). Пусть сигнал имеет преобразование Фурье, т.е. . Тогда согласно теореме о временном сдвиге спектральная функция смещенного во времени сигнала x(t+t) имеет вид

Выражая функцию x(t+t) через обратное преобразование Фурье, можно записать АКФ в виде

Так как интеграл

есть комплексно-сопряженная спектральная функция и произведение , то получим

Отсюда следует, что АКФ является обратным преобразованием Фурье энергетического спектра E(w). Очевидно, будет справедливо и прямое преобразование Фурье:

Итак, энергетический спектр E(w) и автокорреляционная функция B(t) связаны преобразованием Фурье, т.е. .

Таким образом, можно оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже по времени АКФ. Сигнал с узкой АКФ лучше с точки зрения возможности точного измерения момента совпадения двух одинаковых по форме сигналов x(t-t_i) и x(t-t) при изменении задержки t_i (см. систему обработки на рис.2.12). Поэтому при проектировании таких систем зондирующий сигнал целесообразно выбирать широкополосным.

В принципе можно решать задачу синтеза сигнала с заданными корреляционными свойствами. Примером сигналов с наилучшей структурой АКФ могут служить дискретные сигналы (коды) Баркера. Корреляционные свойства этих сигналов оптимальны применительно к решению задачи обнаружения сигнала и измерения его параметров в радиолокации.

Два сигнала x(t) и y(t) могут отличаться как по своей форме, так и взаимным расположением на оси времени. Для оценки этих различий применяют взаимно корреляционную функцию (ВКФ)B_xy(t). ВКФ двух вещественных сигналов x(t) и y(t) определяется как скалярное произведение вида