Пример прохождения сигнала через идеальный фильтр нижних частот

Пусть известны частотные характеристики идеального фильтра нижних частот (ФНЧ), рис.2.49, где w_с=2pf_c - граничная частота среза фильтра.

Пусть на вход идеального ФНЧ в момент времени t=0 подается испытательный сигнал в виде дельта-функции d(t). Найдем отклик ФНЧ на этот входной сигнал. Решение данного примера с учетом спектрального представления дельта-функции (рис.2.25) и функции отсчетов (рис.2.19) показано на рис.2.50.

Интегральному преобразованию Фурье соответствует двухстороннее частотное представление (-¥<w<¥). Поэтому на рис.2.50 частотные характеристики ФНЧ (см. рис.2.49) приводятся в соответствие с двухсторонним частотным представлением входного сигнала. На область отрицательных частот АЧХ отображается зеркально без изменений, а ФЧХ - зеркально с одновременным изменением знака фазы.

Рис.2.50

Так как на выходе ФНЧ амплитудный спектр A_y(w)=A_d(w)K(w) и фазовый спектр j_y(w)=j_d(w)+j(w)=-jwt₀, то выходной сигнал y(t) имеет спектральную функцию

.

Тогда согласно обратному преобразованию Фурье выходной сигнал

.

Таким образом, с точностью до множителя Kw_c/p реакция идеального ФНЧ на d-функцию - это функция отсчетов Sa{w_c(t-t₀)}, задержанная на время t₀ за счет линейной фазочастотной характеристики.