Функциональные последовательности и ряды

- функц-я последовательность (ФП), - функц-й ряд (ФР).

Опр. . - ФП.

1.Область опр-я ФП – мн-во Х, при котором Для любого : имеет смысл.

2.Область сх-ти ФП – мн-во тех Х, при кот. числовая посл-ть - сх-ся.

3. наз. предельной функцией, если для любого , т.е. .

4. наз. равномерносх-ся к на мн-ве Х, равном-но сх-ся а , если .

5.Критерий равномерной сх-ти. равном-но сх-ся а .

6.Криткрий Коши (равномерной сх-ти). ФП равномерно на мн-ве Х стремится к нек. предельной ф-и .

Опр. Ряд составленный из функций одной и той же переменной : , наз. функциональным.

Опр. ФР наз. равномерносходящимся на Х, если на этом мн-ве равномерно сх-ся посл-ть его частичных сумм.

Критерий Коши равн-ой сх-ти ФР: - равн-но сх-ся .

Признаки равномерной сх-ти ФР:

1.Признак Веерштраса. ФР равномерно сх-ся в области Х, если сущ. такой сх-ся числовой ряд , что для всех значений , лежащих в этой области, имеет место неравенство .

2.Признак Дирихле. Пусть на Х частичный равномерно ограничен, а последовательность монотонна (т.е. ) при каждом и равномерно сх-ся к 0 на Х, тогда -равномерно сх-ся на Х.

3.Признак Абеля. Пусть -равномерно сх-ся, а монотонна при каждом и равномерно ограничена, тогда -равномерно сх-ся на Х.

Свойства функциональных рядов.

1.Почленное интегрирование

Теорема (для рядов): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .

Теорема (для последовательности): Пусть для любого , и пусть -равномерно сх-ся на к , тогда .