Первый признак равенства треугольников

Билет № 1

Первый признак равенства треугольника по двум сторонам и углу между ними формулируется в виде:

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Рассмотрим ΔABC и ΔA₁B₁C₁, у которых AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, А= А₁. Докажем, что ΔABC=ΔA₁B₁C₁. Так как A= A₁ то треугольник ABC можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной A₁ а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁. Поскольку АВ=A₁B₁, AC=A₁C₁ то сторона АВ совместится со стороной A₁B₁ а сторона АС — со стороной A₁C₁ в частности, совместятся точки В и В₁ С и С₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и A₁B₁C₁ полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Запись на доске:

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁, AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, А= А₁.

Доказать: ΔABC=ΔA₁B₁C₁

Доказательство. A= A₁ ═> ΔABC можно наложить на ΔА₁В₁С₁ так, что А→A₁ а АВ и АС наложатся на лучи А₁В₁ и А₁С₁.

АВ=A₁B₁, AC=A₁C₁ ═> АВ → A₁B₁ а АС → A₁C₁ В частности, В → В₁ С → С₁. Следовательно, ВС → В₁С₁. Итак, ΔABC → ΔA₁B₁C₁ полностью, значит, ΔABC=ΔA₁B₁C₁.