Второе достаточное условие экстремума

Теорема 9.2. Пусть функция f (x) имеет в данной точке с возможного экстремума конечную вторую производную.

Тогда f (x) имеет в точке с максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Из условия и из Теоремы 8.9 ( Теорема 8.9. Если функция f (x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с.) вытекает, что f’ (x) убывает (возрастает) в точке с. Поскольку по условию f’ (с) = 0, то найдется такая окрестность точки с, в пределах которой слева от с и справа от с. Тогда по Теореме 9.1 f (x) имеет в точке с максимум (минимум).