Направление выпуклости и точки перегиба графика функции

1). Предположим, что функция f (x) дифференцируема в любой точке интервала . Тогда существует касательная к графику функции , проходящая через любую точку этого графика , причем эта касательная не параллельна оси Oy.

Определение. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Теорема 9.4. Если функция имеет на интервале конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство. Рассмотрим случай всюду на . Пусть с – любая точка интервала (рисунок). Требуется доказать, что график функции лежит не ниже касательной, проходящей

через точку . Запишем уравнение касательной, обозначая ее ординату через Y. Т. к. угловой коэффициент касательной равен f’ (c), то

(1)

Разложим f (x) в окрестности точки с по формуле Тейлора до n = 1. Получим

(2)

где остаточный член взят в форме Лагранжа, x лежит между c и x. Поскольку по условию f (x) имеет вторую производную на интервале , формула (2) справедлива для любого x из этого интервала. Сопоставляя (2) и (1), имеем

(3)

Поскольку вторая производная по условию ³ 0 всюду на , то правая часть (3) неотрицательна, т.е. для всех x из или . Это неравенство доказывает, что график всюду в пределах интервала лежит не ниже касательной (1).