Уравнения с двумя переменными

Приложение 2.

Системы и совокупности уравнений. Методы их решения

Уравнения с двумя переменными

Многие теоретические и практические вопросы приводят к уравнению с несколькими неизвестными или к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.

Определение. Пусть – выражение с двумя переменными определенное на множестве . Равенство вида , определенное на множестве , называют уравнением с двумя переменными.

Областью определения уравнения с двумя переменными является множество

Упорядоченную пару значений переменных обращающую уравнение с двумя переменными в верное числовое равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Пример. Решениями уравнения являются пары (2;1). Это уравнение имеет и другие решения.

Для нахождения решений уравнения удобно выразить одну переменную через другую, например, через .

Пример. Для нахождения решений уравнения выражают одну переменную через другую, например, через , получают уравнение Выбрав произвольное значение , вычисляют соответствующее значение .

Если , то Следовательно, пара является решением данного уравнения; если , то , значит, пара так же является решением заданного уравнения и т.д.

Множество всех решений уравнения называют множеством решений уравнения.

Как правило, уравнения с двумя переменными имеют бесконечное множество решений. Его удобно изображать на координатной плоскости, где все решения уравнения изображают точками на координатной плоскости и получают некоторое множество точек, которые называют графиком уравнения .