double arrow

Методы решения систем уравнений


Систему уравнений с несколькими неизвестными наиболее часто решают:

− методом подстановки;

− методом сложения;

− графическим методом;

− методом введения новых переменных.

Метод подстановки.

При решении системы методом подстановки пользуясь одним уравнением системы, выражают одну из переменных системы через другие переменные, и заменяют в остальных уравнениях эту переменную полученным выражением. При этом получают систему уравнений равносильную данной системе.

Уравнение приводят к виду вводят новую переменную решают уравнение затем решают совокупность уравнений , где – корни уравнения

Решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными где неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены, в общем виде.

Из одного уравнения выразим одно из неизвестных, например , через коэффициенты и другое неизвестное : и подставим во второе уравнение вместо : .

Решая последнее уравнение, находим :

Подставим это значение вместо в выражение :

Таким образом, способ подстановки решения системы двух уравнений с двумя неизвестными заключается в следующем:

− выражают одну переменную через другую в одном из уравнений системы;

− это выражение подставляют в другое уравнение системы, и в результате получают уравнение с одной переменной;

− в уравнении с одной переменной находят корень;

− подставив найденный корень, получают значение другой переменной;

− записывают ответ.

Пример. Решим систему методом подстановки:

Решение. Из первого уравнения системы выразим переменную через , получим Подставив это выражение во второе уравнение системы, имеем:

Система уравнений равносильна системе Из уравнения найдем

Отсюда,

Подставив теперь найденное значение в выражение получим:

Ответ.

Пример. Решим систему методом подстановки:

Решение. Из второго уравнения системы выразим через , получим Подставив это выражение в первое уравнение системы, имеем: Из данного уравнения найдем Подставив в выражение , найдем Решение системы: (4;1).

Ответ. (4;1).

Метод алгебраического сложения (вычитания).

Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными где неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены, методом алгебраического сложения в общем виде.

Умножим обе части 1-го уравнения системы на (– ), а обе части 2-го уравнения на и сложим их:

Отсюда получим:

Подставим найденное значение вместо в любое уравнение системы находим второе неизвестное:

Таким образом, метод алгебраического сложения (вычитания) заключается в следующем:

− почленно складывают уравнения системы, предварительно умножив их на некоторые множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;




− находят корень полученного уравнения с одной переменной;

− подставляют найденное значение в любое уравнение системы и находят соответствующее значение другой переменной;

− записывают ответ.

Пример. Решим систему уравнений:

Решение. Решим систему способом сложения:

.

Подставим значение переменной в первое (или второе) уравнение системы:

Пара (2; 2, 75) – решение системы.

Ответ. (2; 2,75).

Пример. Решим систему уравнений способом сложения:

Решение. Решим систему способом сложения. Для этого умножим второе уравнение системы на 2 и сложим почленно уравнения системы:

Найдем значения переменной , Найдем значения переменной , для этого найденное значение подставим в любое уравнение исходной (первоначальной) системы, получим: Ответ.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про:
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7