2015-04-23
6582
Систему уравнений с несколькими неизвестными наиболее часто решают:
− методом подстановки;
− методом сложения;
− графическим методом;
− методом введения новых переменных.
При решении системы методом подстановки пользуясь одним уравнением системы, выражают одну из переменных системы через другие переменные, и заменяют в остальных уравнениях эту переменную полученным выражением. При этом получают систему уравнений равносильную данной системе.
Уравнение 
приводят к виду 
вводят новую переменную 
решают уравнение 
затем решают совокупность уравнений 
, где 
– корни уравнения 
Решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными 
где 
– неизвестные; 
– коэффициенты при неизвестных, 
– свободные члены, в общем виде.
Из одного уравнения выразим одно из неизвестных, например 
, через коэффициенты и другое неизвестное 
: 
и подставим во второе уравнение вместо : 
.
Решая последнее уравнение, находим :
Подставим это значение вместо в выражение :
|
|
|
Таким образом, способ подстановки решения системы двух уравнений с двумя неизвестными заключается в следующем:
− выражают одну переменную через другую в одном из уравнений системы;
− это выражение подставляют в другое уравнение системы, и в результате получают уравнение с одной переменной;
− в уравнении с одной переменной находят корень;
− подставив найденный корень, получают значение другой переменной;
− записывают ответ.
Пример. Решим систему методом подстановки: 
Решение. Из первого уравнения системы 
выразим переменную 
через 
, получим 
Подставив это выражение во второе уравнение системы, имеем: 
Система уравнений 
равносильна системе Из уравнения 
найдем 
Отсюда, 
Подставив теперь найденное значение в выражение 
получим: 
Ответ. 
Пример. Решим систему методом подстановки: 
Решение. Из второго уравнения системы выразим через , получим 
Подставив это выражение в первое уравнение системы, имеем: 
Из данного уравнения найдем 
Подставив 
в выражение 
, найдем 
Решение системы: (4;1).
Ответ. (4;1).
Метод алгебраического сложения (вычитания).
Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными 
где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены, методом алгебраического сложения в общем виде.
Умножим обе части 1-го уравнения системы на (– 
), а обе части 2-го уравнения на 
и сложим их:
Отсюда получим:
Подставим найденное значение вместо в любое уравнение системы находим второе неизвестное:
Таким образом, метод алгебраического сложения (вычитания) заключается в следующем:
− почленно складывают уравнения системы, предварительно умножив их на некоторые множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
|
|
|
− находят корень полученного уравнения с одной переменной;
− подставляют найденное значение в любое уравнение системы и находят соответствующее значение другой переменной;
− записывают ответ.
Пример. Решим систему уравнений: 
Решение. Решим систему способом сложения:
. 
Подставим значение переменной 
в первое (или второе) уравнение системы: 
Пара (2; 2, 75) – решение системы.
Ответ. (2; 2,75).
Пример. Решим систему уравнений способом сложения: 
Решение. Решим систему способом сложения. Для этого умножим второе уравнение системы на 2 и сложим почленно уравнения системы:
Найдем значения переменной 
, 
Найдем значения переменной 
, для этого найденное значение подставим в любое уравнение исходной (первоначальной) системы, получим: 
Ответ. 
